《微积分上课件5.3定积分的换元法和分部积分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分上课件5.3定积分的换元法和分部积分法（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第三节 定积分的换元法 和分部积分法,定积分的换元法,小结 思考题 作业,定积分的分部积分法,definite integral by parts,definite integral by substitution,第五章 定积分,2,上一节的牛莱公式将定积分的计算,而不定积分可用换元法,和分部积分法求积 .,归结为求不定积分,所以定积分也可以用换元法和分部积分来解决.,3,一、定积分的换元法,definite integral by substitution,例1 计算,=,还有别的方法吗?,几何意义!,4,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,函数,满足条件:,(1),(2),具有连
2、续导数,且其值域,5,与不定积分的换元法类似,有,=,(1) 换元一定要换限,上限对应上限,下限对应下限(不一定 ).,(2) 求出,的原函数后,不用将,代回,直接代入新的积分限即可.,6,(3) 换元公式也可反过来用.,=,满足定理条件,(4) 作的变换一定要满足定理的条件:,有连续的导数,例2 计算,7,例3,解,提示：,换元一定要换积分限 引进新的积分变量， 就要改变积分限 .,8,或,在用“凑”微分的方法时,不明显地写出,下限就不要变.,定积分的上、,新的变量 t ,9,作换元时,一定要满足定理的条件:,有连续导数,例4,=,从而,?,10,提示：,解,例6,11,例7：求,解：,?,
3、12,原式=,原式=,13/20,解 ：原式,例8,提示：,二、在定积分计算中应注意的问题,14,例9,(2) 当 为偶函数时,(3) 当 为奇函数时,2:对称区间上的性质,15,奇函数,例10 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,16,例11:计算,17,例12:证明,证：,3.证明含定积分的等式,观察积分限与被积函数,18,证,(1),4.三角函数的定积分公式,例13:,由此计算,设,证毕.,化被积函数相同,19,设,证,由此计算,20,说明:,尽管,但由于它没有,初等原函数,故此积分无法直接用N-L公式求得.,21,解：设x2t, 则,例14:,22,5.周期函数的定积分公式,这个公式
4、就是说：,周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,(留给同学证),23,推论,设,是以T为周期的连续函数，,则对任意的自然数n，有,24,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,definite integral by parts,定理2,由不定积分的分部积分法,及N-L公式.,25,例15 设 求,解,26,解,例16,由此得,27,即,为偶数,为奇数,由于,28,记,则有：,29,例17,上公式在计算其它积分时可以直接引用.,30,例18 证明：若,上连续，则,31,例19 计算,练习,计算下列定积分。,32,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,33,思考题1,试检查下面运算是否正确? 如不正确,希指出原因.,解答,注意,必定大于零.,上述运算的问题在于引进的变换,不满足换元法则的前提条件.,34,思考题2,解答,35,思考题,解,令,36,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,37,作业,习题5-3 (253页),1. (5) (12) (15) (16) (19)(24) 2. 3. 6. 7. (2) (5) (10),
