《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数 （25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24 二次函数与幂函数 知识梳理 1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)ax2bxc(a0) 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0) 两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) (2)二次函数的图象和性质 2幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为 常数 (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 诊断自测 1概念思辨 (1)当 0 恒成立的充要条件是Error!Error!( ) (3)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是.( ) 4acb2 4a (4)在 yax2bxc(a0)中，
2、a 决定了图象的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A1P44T9)函数 y(x23x10)1的递增区间是( ) A(，2) B(5，) C. D. (， 3 2) ( 3 2，) 答案 C 解析 由于 x23x100 恒成立，即函数的定义域为 (，) 设 tx23x10，则 yt1是(0，)上的减函数， 根据复合函数单调性的性质， 要求函数 y(x23x10)1的递增区间， 即求 tx23x10 的单调递减区间， tx23x10 的单调递减区间是， (， 3 2) 所求函数的递增区间为.故选 C. (， 3 2) (
3、2)(必修 A1P78探究) 若四个幂函数 yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图 象如图，则 a，b，c，d 的大小关系是( ) Adcba Babcd Cdcab Dabdc 答案 B 解析 幂函数 a2，b ，c ，d1 的图象，正好和题 1 2 1 3 目所给的形式相符合，在第一象限内，x1 的右侧部分的图象，图 象由下至上，幂指数增大，所以 abcd.故选 B. 3小题热身 (1)(2017济南诊断)已知幂函数 f(x)kx的图象过点，则 ( 1 2， 2 2) k( ) A. B1 C. D2 1 2 3 2 答案 C 解析 由幂函数的定义知 k1.又 f，所以 ，解 (
4、 1 2) 2 2 ( 1 2) 2 2 得 ，从而 k .故选 C. 1 2 3 2 (2)函数 f(x)x2axa 在0,2上的最大值为 1，则实数 a 等于( ) A1 B1 C2 D2 答案 B 解析 解法一：(分类讨论)当对称轴 x 1，即 a2 时，f(x) a 2 maxf(2)43a1，解得 a1 符合题意；当 a2 时，f(x)maxf(0) a1，解得 a1(舍去)综上所述，实数 a1，故选 B. 解法二：(代入法)当 a1 时，f(x)x2x1 在0,2上的最大 值为 f(2)71，排除 A；当 a1 时，f(x)x2x1 在0,2上的最 大值为 f(2)1，B 正确；当
5、 a2 时，f(x)x22x2 在0,2上的 最大值为 f(2)101，排除 C；当 a2 时，f(x)x22x2 在0,2 上的最大值为 f(0)f(2)21，排除 D，故选 B. 题型 1 幂函数的图象与性质 (2017长沙模拟)已知函数 f(x)x，则( ) 典例1 Ax0R，使得 f(x)f(x2) 根据幂函数性质逐项验证 答案 B 解析 由函数 f(x)x，知： 在 A 中，f(x)0 恒成立，故 A 错误； 在 B 中，x0，)，f(x)0，故 B 正确； 在 C 中，x1，x20，)，x1x2，都有 0，故 C 错误； fx1fx2 x1x2 在 D 中，当 x10 时，不存在
6、x20，)使得 f(x1)f(x2)，故 D 不成立故选 B. (2018荣城检测)已知函数 f(x)Error!Error! 典例2 若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范 围是_ 用数形结合法 答案 (0,1) 解析 作出函数 yf(x)的图象如图则当 00)，g(x)logax 的图 象可能是( ) 答案 D 解析 因为 a0，所以 f(x)xa在(0，)上为增函数，故 A 错误；在 B 中，由 f(x)的图象知 a1，由 g(x)的图象知 01， 矛盾，故 C 错误；在 D 中，由 f(x)的图象知 01 时，函数 f(x)x22ax1a 在区间0,1上
7、是增函 数， f(x)maxf(1)12a1aa，a2. 综上可知，a1 或 a2.故选 D. 2若二次函数 f(x)ax2bxc(a0)，满足不等式 f(x) 2x0 的解集为x|10 的解集为(1,3)，设 f(x)2xa(x1)(x3)， 且 a0 的解集为x|20 的解集为x|2xk 在区间3，1上恒成立，试求 k 的范围 用转化法 解 (1)由题意得 f(1)ab10，a0， 且1，a1，b2.f(x)x22x1， b 2a 单调减区间为(，1，单调增区间为1，) (2)解法一：f(x)xk 在区间3，1上恒成立， 转化为 x2x1k 在区间3，1上恒成立 设 g(x)x2x1，x3
8、，1， 则 g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1. kxk 在区间3，1上恒成立，转化为 x2x1k0 在区间3，1上恒成立，设 g(x)x2x1k， 则 g(x)在3，1上单调递减， g(1)0，得 k 1，b24b31，所以 b24b2c1 的解集为(m4，m1)， 则实数 c 的值为_ 答案 21 4 解析 函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为(，0， 0，即 a24b0， b. a2 4 关于 x 的不等式 f(x)c1 的解集为(m4，m1)， 方程 f(x)c1 的两根分别为 m4，m1， 即方程x2axc1 两根分别为 m4，m1， a2 4 方程x2axc1
9、根为 x ， a2 4 a 21c 两根之差为 2(m1)(m4)5， 1c c. 21 4 1.(2017昆明质检)若函数 yx23x4 的定义域为0，m，值 域为，则 m 的取值范围是( ) 25 4 ，4 A0,4 B. 3 2，4 C. D. 3 2，) 3 2，3 答案 D 解析 二次函数图象的对称轴为 x ，且 f，f(3)f(0) 3 2 ( 3 2) 25 4 4，由图得 m.故选 D. 3 2，3 2(2017浙江高考)若函数 f(x)x2axb 在区间0,1上的最大 值是 M，最小值是 m，则 Mm( ) A与 a 有关，且与 b 有关 B与 a 有关，但与 b 无关 C与
10、 a 无关，且与 b 无关 D与 a 无关，但与 b 有关 答案 B 解析 设 x1，x2分别是函数 f(x)在0,1上的最小值点与 解法一： 最大值点，则 mx ax1b，Mx ax2b. 2 12 2 Mmx x a(x2x1)，显然此值与 a 有关，与 b 无 2 22 1 关故选 B. 由题意可知，函数 f(x)的二次项系数为固定值，则二次 解法二： 函数图象的形状一定随着 b 的变动，相当于图象上下移动，若 b 增大 k 个单位，则最大值与最小值分别变为 Mk，mk，而(Mk) (mk)Mm，故与 b 无关随着 a 的变动，相当于图象左右移 动，则 Mm 的值在变化，故与 a 有关故
11、选 B. 3(2018枣庄模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)x22x，如果函数 g(x)f(x)m(mR)恰有 4 个零点， 则 m 的取值范围是_ 答案 (1,0) 解析 函数 g(x)f(x)m(mR)恰有 4 个零点可化为函数 yf(x)的图象与直线 ym 恰有 4 个交点， 作函数 yf(x)与 ym 的图象如图所示，故 m 的取值范围是 (1,0) 4(2018皖南模拟)已知函数 f(x)x22x1，如果使 f(x)kx 对任意实数 x(1，m都成立的 m 的最大值是 5，则实数 k_. 答案 36 5 解析 设 g(x)f(x)kxx2(2k)
12、x1，由题意知 g(x)0 对 任意实数 x(1，m都成立的 m 的最大值是 5，所以 x5 是方程 g(x) 0 的一个根，即 g(5)0，可以解得 k(经检验满足题意) 36 5 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1(2017江西九江七校联考)幂函数 f(x)(m24m4)x在(0，)上为增函数，则 m 的 m26m8 值为( ) A1 或 3 B1 C3 D2 答案 B 解析 由题意知 m24m41 且 m26m80m1，故选 B. 2(2018吉林期末)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4) 上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是( ) Aa Ba 1 4 1 4 C a0
13、时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(，4) 上不可能是单调递增的，故不符合； 当 a4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确；对称轴为 x1，即1,2ab0，错 b 2a 误；结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对 称轴为 x1，知 b2a.又函数图象开口向下，所以 a0 时，x2，综上可知有三解故选 D. 7二次函数 f(x)的二次项系数为正数，且对任意的 xR 都有 f(x)f(4x)成立，若 f(12x2)12xx2，解得 23 C13 答案 B 解析 f(x)x2(a4)x42a(x2)a(x24x4)记 g(a) (x2)a(x24x4)，由题意可
14、得Error!Error!即Error!Error!解得 x3. 故选 B. 9(2018吉林松原月考)设函数 f(x)x2xa(a0)，已知 f(m) 0，则( ) Af(m1)0 Bf(m1)0 Cf(m1)0 Df(m1)0 答案 C 解析 f(x)的对称轴为 x ，f(0)a0，f(x)的大致图象 1 2 如图所示 由 f(m)0，f(1)f(0)a0，得1m0， m10，又x 时 f(x)单调递增，f(m1)f(0)0. 1 2 10(2016全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(2x)，若 函数 y|x22x3|与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， ，(xm，ym)，则xi( ) m i1 A0 Bm C2m D4m 答案 B 解析 由 f(x)f(2x)知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称又 y
