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1、课时作业课时作业 17 数学归纳法数学归纳法 |基础巩固基础巩固|(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中 n0的取值应为( ) A1 B2 C3 D4 解析：边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n03. 答案：C 2用数学归纳法证明 123n2，则当 nk1 时左端应 n4n2 2 在 nk 的基础上加上( ) Ak21 B(k1)2 C. k14k12 2 D(k21)(k22)(k1)2 解析：当 nk 时，左端123k2， 当 nk1 时，左端123k2(k21)(k22)(k1)
2、2， 故当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上(k21)(k22)(k1) 2，故选 D. 答案：D 3用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xnyn能被 xy 整除”的第二 步是( ) A假设 n2k1 时正确，再推 n2k3 时正确(kN*) B假设 n2k1 时正确，再推 n2k1 时正确(kN*) C假设 nk 时正确，再推 nk1 时正确(kN*) D假设 nk(k1)时正确，再推 nk2 时正确(kN*) 解析：nN*且为奇数，由假设 n2k1(nN*)时成立推证出 n2k1(kN*)时成立，就完成了归纳递推 答案：B 4若命题 A(n)(nN*)nk(kN*)时命题成立，则
3、有 nk1 时命题成 立现知命题对 nn0(n0N*)时命题成立则有( ) A命题对所有正整数都成立 B命题对小于 n0的正整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立 C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0的正整数 都成立 D以上说法都不正确 解析：由题意知 nn0时命题成立能推出 nn01 时命题成立，由 nn01 时命题成立，又推出 nn02 时命题也成立，所以对大于或等于 n0的正整数命题都成立，而对小于 n0的正整数命题是否成立不确定 答案：C 5k 棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数 f(k1)为 (k3，kN*)( ) Af(k)k1 B
4、f(k)k1 Cf(k)k Df(k)k2 解析：三棱柱有 0 个对角面，四棱柱有 2 个对角面(020(31)；五 棱柱有 5 个对角面(232(41)；六棱柱有 9 个对角面(545(51) 猜想：若 k 棱柱有 f(k)个对角面， 则(k1)棱柱有 f(k)k1 个对角面 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6用数学归纳法证明 .假设 nk 时，不等式 1 22 1 32 1 n12 1 2 1 n2 成立，则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_ 解析：观察不等式左边的分母可知，由 nk 到 nk1 左边多出了这一项 1 k22 答案： 1 22 1 32 1 k12
5、 1 k22 1 2 1 k3 7对任意 nN*,34n2a2n1都能被 14 整除，则最小的自然数 a_. 解析：当 n1 时，36a3能被 14 整除的数为 a3 或 5；当 a3 且 n2 时，31035不能被 14 整除，故 a5. 答案：5 8用数学归纳法证明 12222n12n1(nN)的过程如下： 当 n1 时，左边1，右边2111，等式成立 假设当 nk 时，等式成立，即 12222k12k1， 则当 nk1 时， 12222k12k2k11， 12k1 12 所以，当 nk1 时等式成立 由此可知，对任何 nN，等式都成立 上述证明错误的是_ 解析：用数学归纳法证明问题一定要
6、注意，在证明 nk1 时要用到假设 nk 的结论，所以错误 答案： 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9用数学归纳法证明：159(4n3)(2n1)n. 证明：当 n1 时，左边1，右边1，命题成立 假设 nk(k1，kN*)时，命题成立， 即 159(4k3)k(2k1) 则当 nk1 时，左边159(4k3)(4k1) k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1) 2(k1)1(k1)右边， 当 nk1 时，命题成立 由知，对一切 nN*，命题成立 10求证：1 (nN*) 1 2 1 3 1 2n1 n 2 证明：当 n1 时，左边1，右边 ，所以不等式成立 1 2
7、假设当 nk(k1，kN*)时不等式成立，即 1 . 1 2 1 3 1 2k1 k 2 则当 nk1 时， 1 1 2 1 3 1 2k1 1 2k11 1 2k12 1 2k k 2 1 2k11 1 2k12 2k1. 1 2k k 2 1 2k 1 2k 1 2k k 2 1 2k k1 2 当 nk1 时，不等式成立 由可知 1 (nN*)成立 1 2 1 3 1 2n1 n 2 |能力提升能力提升|(20 分钟，分钟，40 分分) 11已知 123332433n3n13n(nab) 对一切 1 4 nN*都成立，那么 a，b 的值为( ) Aa ，b 1 2 1 4 Bab 1 4
8、 Ca0，b 1 4 Da ，b 1 4 1 2 解析：法一：特值验证法，将各选项中 a，b 的值代入原式，令 n1,2 验 证，易知选 A. 法二：因为 123332433n3n13n(nab) 对一切 1 4 nN*都成立， 所以当 n1,2 时有 Error!Error! 即Error!Error!解得Error!Error! 答案：A 12用数学归纳法证明“当 nN*时，求证：12222325n1是 31 的倍数”时，当 n1 时，原式为_，从 nk 到 nk1 时需增添的 项是_ 解析：当 n1 时，原式应加到 251124， 所以原式为 12222324， 从 nk 到 nk1 时
9、需添 25k25k125(k1)1. 答案：12222324 25k25k125k225k325k4 13平面内有 n(n2，nN*)条直线，其中任何两条均不平行，任何三条 均不共点，证明：交点的个数 f(n). nn1 2 证明：(1)当 n2 时，两条直线有一个交点，f(2)1，命题成立 (2)假设当 nk(k2，kN*)时，命题成立，即 f(k).那么当 kk1 2 nk1 时，第 k1 条直线与前 k 条直线均有一个交点，即新增 k 个交点，所 以 f(k1)f(k)kk，即当 nk1 时命 kk1 2 k2k 2 k1k11 2 题也成立 根据(1)和(2)，可知命题对任何 n2，n
10、N*都成立 14已知数列an中，a15，Sn1an(n2 且 nN*) (1)求 a2，a3，a4并由此猜想 an的表达式 (2)用数学归纳法证明an的通项公式 解析：(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a320. 猜想：an52n2(n2，nN*) (2)当 n2 时，a252225 成立 假设当 nk 时猜想成立，即 ak52k2(k2 且 kN*) 则 nk1 时， ak1Ska1a2ak551052k2 552k1. 512k1 12 故当 nk1 时，猜想也成立 由可知，对 n2 且 nN*. 都有 an52n2. 于是数列an的通项公式为 anError!Error!
