《第十一章无穷级数第十一章第2节常数项级数审敛法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章无穷级数第十一章第2节常数项级数审敛法（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,2,第二节 常数项级数的审敛法,一. 正项级数及一般审敛法则,若,定理 1 正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛 ,则,由于,则部分和数列,有界,故,从而,又已知,因此它有界.,则称,为正项级数.,收敛 ,单调递增,收敛 ,也收敛.,3,定理2 (比较审敛法),设 和 是两个正项级数,且存在,对一切,有,( 常数 k 0 ),(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证: 因为级数前加、减有限项不改变级数的敛散性 ,因此不妨设对一切,令,则有:,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,和,分别表示强级数和弱级数的部分和 ,则有,都有,4,(1) 若强级数,则有,因此对一
2、切,有,由定理 1 可知 , 弱级数,则有,(2) 若弱级数,因此,这说明 强级数,也发散 .,和 是两个正项级数 ,( 常数 k 0 ),也收敛 .,发散 ,收敛 ,5,证明,6,解,由图可知,7,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,8,9,10,11,定理3. (比较审敛法的极限形式),设 和 是,两个正项级数 , 若,则有,(1) 当 时 ,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 且级数 收敛时 ,级数 也收敛 ;,(3) 当 且级数 发散时 ,级数 也发散 .,证: 根据极限定义 , 对,存在,当 时,即有,12,(1) 当 时 ,取,由定理 2 可知级数,与,同时收敛
3、或同时发散 ;,(2) 当 时 ,由定理2,可知, 若级数 收敛 ,也收敛 .,利用,(3) 当 时 ,存在,当 时 ,即,由定理2可知 , 若级数,发散 ,则级数,也发散.,则级数,13,是两个正项级数 ,(1) 当 时 ,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 且级数 收敛时 ,级数 也收敛 ;,(3) 当 且级数 发散时 ,级数 也发散 .,.,14,例7.判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知级数 发散.,例8. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,收敛.,15,故原级数收敛.,16,17,二. 比值审敛法和根值审敛法,1. 比值审敛法,定理4
4、设,为正项级数 , 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1),当,由,取 使,收敛 ,收敛 .,时 , 级数收敛 ;,或,时 , 级数发散 .,时,知存在,由比较审敛法可知, 级数,18,或,时,必存在,当,因此,所以级数发散.,时,(2) 当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散 .,例如 p - 级数,但,级数收敛,级数发散,19,解,20,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,21,例12. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,当 时 ,级数收敛 ;,当 时 ,级数发散 ;,当 时 ,级数,发散 .,而,22,2. 根值审敛法,定理5 设,为正项级数 , 且,则,(1) 当
5、时 , 级数收敛 ;,(2) 当 时 , 级数发散 .,23,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 p - 级数,说明 :,但,级数收敛,级数发散,24,例13. 证明级数,收敛 , 并估计以部分和,代替和 时所产生的误差 .,解:,由定理5可知该级数收敛 .,令,则所求误差为,近似,25,26,三. 交错级数及其审敛法,各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件,则级数,收敛 , 且其和,其余项的绝对值,莱布尼兹 (德) 16461716,27,证:,显然 是单调递增有界数列, 因此有,又,故级数收敛于 S , 且,的余项 :,
6、28,收敛,收敛,例15 用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,29,30,四. 绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛 , 但取绝对值以后的级数发散 ,收敛 ,原级数,为条件收敛 .,均为绝对收敛 .,例如 ：,绝对收敛 ；,则称,原级数,条件收敛 .,则称,可以证明:绝对收敛的级数一定收敛 .,31,例17. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,32,例17. 证明下列级数绝对收敛 :,(2) 令,因此,收敛 ,绝对收敛 .,33,例18. 下列级数是否绝对收敛 :,34,35,36,37,38,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,部分和极限,39,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,若 收敛 ,称 绝对收敛,若 发散 ,称 条件收敛,Leibniz判别法: 若,且,则交错级数,收敛,概念:,40,作业11-2: P206 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5),
