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1、1,第三章 参 数 估 计,一、点估计 二、估计量的评选标准 三、区间估计,2,一、矩 估 计 法,1、方法思想,将要估计的总体参数 表示成总体X的矩的函数，然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。 -这种估计方法称为矩估计法。,例1 已知总体的概率密度为 试由样本(X1,X2,Xn)估计参数。,分析：,1、参数与总体的矩有什么关系？,计算E(X)不难得到：,2、如何利用样本来估计E(X)，进而估计参数？,用样本均值 （一阶矩）来估计E(X)！,也可以建立参数与E(X 2)的关系,3,一般地，若总体X的概率分布含有k个未知参数1,2,k ,则总体X的l阶（原点）矩l存在，且应为1,2,
2、k的函数： l =l(1,2,k),2、理论依据,用相应的样本矩Al估计l ，得,用样本的矩来推断总体相应的矩，其理论依据为 “大数定律” 若总体X的k阶（原点）矩k存在，则当样本容量n充分大时，样本的k阶矩Mk 依概率收敛于k。,3、方法步骤,1）建立待估参数 与总体的矩之间的关系式； 2）解方程组，解得参数用总体矩表示的关系式。 3）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到 的估计量。代入样本值得到 的估计值。,此方程组的解 ，,就称为参数1,2,k 的矩估计量。,4,例2 设灯泡厂从某天生产的一大批灯泡中随机抽取10只进行寿命试验，测得数据如下（单位：小时）： 1050,1100,
3、1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200; 试估计该批灯泡的平均寿命及寿命分布的标准差。,析：,而 D(X)=E(X2)-E2(X),需要估计的是总体的均值 和标准差 ；,其中 本身就是总体的一阶矩；而标准差 呢？,它们与总体的（原点）矩之间的关系？,用相应的样本矩取代总体矩得到估计量：,或者：D(X)就是总体的二阶中心矩！,5,例3 设总体X服从a,b上的均匀分布，a,b未知. X1,X2,Xn是来自总体X的样本，试求a,b的矩估计量.,析：, 待估参数与总体的（原点）矩之间有何关系？, 如何得到估计量？,对于均匀分布而言，我们熟知：,思考,该题做法唯一
4、吗？,6,二、最大似然估计,1、基本原理,若在一次观察中一个事件出现了，那么此事件的概率应该较大。,思考：,有一个事件A，如果我们只知道它发生的概率P(A)有三种可能：0.1、0.6和0.99；在一次观测中，这一事件确实发生了，此时我们应当倾向于认为 P(A)= ?,若A发生的概率有更多种可能的选择呢？,当我们用样本估计总体的参数 时，应让参数 取能使所观测到的样本出现的概率最大的那个值。,7,2、基本思想,设总体X的分布已知，记为f(x, )（若X为离散型随机变量，则f(x, )为PX=x），其中为待估参数，则总体X的样本(X1,X2 ,Xn)的联合概率密度为,对应具体的一次样本实现（x1,
5、x2,xn），记,称L()为 似然函数;,L() 描述了样本(X1,X2, ,Xn)取值为（x1，x2，xn）的可能性大小！,依“基本原理”,此时的L()应当取到的是最大值. 故的值应当是使得L()取到最大值的点。,-这种求参数 估计值的方法，就称为最大似然估计法。,由此方法而求出的参数的估计值，称为 的最大似然估计值，相应的估计量为最大似然估计量。,8,3、方法步骤, 写出似然函数L() ； 求似然函数L()的最值（极值）。 （注：通常转为求 LnL()的极值更方便）,例4 已知Xb(1,p), (X1,X2,Xn)为一个样本，求p的最大似然估计量。,解：,故p 的最大似然估计量为,X的分布
6、率为,PX=x=px(1-p)1-x， x=0，1，,故似然函数,把分布率写成这种形式很必要！,9,说明： 最大似然估计法可推广至分布中含有多个未知参数的估计。,解:,似然函数为,得最大似然估计值为,X的概率密度为,例5 设总体XN(，2), ,2均未知, (x1,x2,xn)为X的样本值,求, 2的最大似然估计值.,10,例6已知总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知(X1,X2,Xn)是一个样本。试求a,b的最大似然估计量。,析：,X的概率密度为,似然函数为,无解！,基于已有的样本(X1,X2,Xn)，b-a能任意的小吗？,11,解：,似然函数为,若将 x1,x2,xn 按由小到大重新排序，记为,例7已知总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知(X1,X2,Xn)是一个样本。试求a,b的最大似然估计量。,12,例8 设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为,其中 0,求 的矩估计.,解得,用样本矩代替得,13,例9 设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,其中 0,求 的极大似然估计.,对数似然函数为,对 分别求偏导并令其为0,使 达到最大 即极大似然估计,为 的极大似然估计,易得：,因此：,
