《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线 的几何性质解决一些简单的抛物线问题 知识点 抛物线的几何性质 思考 观察下列图形，思考以下问题： (1)观察焦点在 x 轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程 y22px(p0)如何确定横坐标 x 的范围？ 答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有 两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有 中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点
2、，无中心 (2)由抛物线 y22px(p0)有Error!所以 x0.所以抛物线 x 的范围为 x0.抛物线在 y 轴的右 侧，当 x 的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 梳理 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 图形 范围 x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴 焦点 F( p 2，0) F( p 2，0) F( 0，p 2) F( 0，p 2) 准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 顶点坐标O(0,0) 通径长2p 1抛物线关于顶点对称()
3、 2抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心() 3抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同() 类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程 例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y236 短轴所在的直线，抛物线焦 点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程 解 椭圆的方程可化为1，其短轴在 x 轴上， x2 4 y2 9 抛物线的对称轴为 x 轴， 设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0) 抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3, p 2 p6. 抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x， 其准线方程分别为 x3 或 x3. 引申探究 将本
4、例改为“若抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4” ，求此抛物线的标准方程 解 由题意，设抛物线方程为 y22mx(m0)， 焦点 F，直线 l：x ， ( m 2，0) m 2 所以 A，B 两点坐标为， ( m 2，m) ( m 2，m) 所以|AB|2|m|. 因为OAB 的面积为 4， 所以 2|m|4， 1 2| m 2| 所以 m2. 2 所以抛物线的标准方程为 y24x. 2 反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤 跟踪训练 1 已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的
5、抛物线的标准方 x2 8 y2 9 程及抛物线的准线方程 解 因为双曲线1 的右顶点坐标为(2，0)，所以 2，且抛物线的焦点在 x 轴 x2 8 y2 92 p 22 正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为 y28x，其准线方程为 x2. 22 类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题 例 2 (1)过抛物线 y28x 的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为_ (2) 直线 l 过抛物线 y24x 的焦点，与抛物线交于 A，B 两点，若 AB8，则直线 l 的方程 为_ (3)过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 AB7，则 AB 的 中点
6、 M 到抛物线准线的距离为_ 答案 (1)16 (2)xy10 或 xy10 (3) 7 2 解析 (1)由抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 yx2，代入 y28x 得(x2) 28x，即 x212x40.所以 x1x212，弦长为 x1x2p12416. (2)抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)， 若 l 与 x 轴垂直，则 AB4，不符合题意， 可设所求直线 l 的方程为 yk(x1) 由Error!得 k2x2(2k24)xk20，(*) 则由根与系数的关系，得 x1x2. 2k24 k2 又 AB 过焦点，由抛物线的定义可知 ABx1x2p28，6，解得 2k
7、24 k2 2k24 k2 k1.此时(*)式变为 x26x10，满足 0. 所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10. (3)抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线定义知 ABAFBFx1x2p， 即 x1x227，得 x1x25，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ，又准线方程为 5 2 x1，因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 . 5 2 7 2 反思与感悟 1.抛物线上任一点 P(x0，y0)与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径， 对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为 (1)抛物线 y22px(p0)，PF x0. |x0 p 2| p 2
8、(2)抛物线 y22px(p0)，PF x0. |x0 p 2| p 2 (3)抛物线 x22py(p0)，PF y0. |y0 p 2| p 2 (4)抛物线 x22py(p0)，PF y0. |y0 p 2| p 2 2已知 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 (1)y1y2p2，x1x2. p2 4 (2)ABx1x2p( 为直线 AB 的倾斜角) 2p sin2 (3)SABO( 为直线 AB 的倾斜角) p2 2sin (4) . 1 AF 1 BF 2 p (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 3当直
9、线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为 抛物线的通径，显然通径长等于 2p. 跟踪训练 2 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点 (1)若直线 l 的倾斜角为 60，求 AB 的值； (2)若 AB9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离 解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60， 所以其斜率 ktan60. 3 又 F，所以直线 l 的方程为 y. ( 3 2，0)3(x 3 2) 联立Error!消去 y 得 x25x 0. 9 4 若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25， 而 ABAFBFx1
10、 x2 p 2 p 2 x1x2p，所以 AB538. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知 ABAFBFx1 x2 x1x2px1x23， p 2 p 2 所以 x1x26.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x ， 3 2 所以 M 到准线的距离等于 3 . 3 2 9 2 类型三 抛物线的综合问题 命题角度1 与抛物线有关的最值问题 例 3 抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上的动点，若点 A(1,0)，求的 PF PA 最小值 解 抛物线 y24x 的准线方程为 x1， 如图，过点 P 作 PN 垂直 x1 于点 N
11、， 由抛物线的定义可知 PFPN， 连结 PA，在 RtPAN 中，sinPAN， PN PA 当最小时，sinPAN 最小， PN PA PF PA 即PAN 最小，即PAF 最大， 此时，PA 为抛物线的切线， 切线 PA 的斜率一定存在， 设 PA 的方程为 yk(x1)， 联立Error! 得 k2x2(2k24)xk20， 所以 (2k24)24k40， 解得 k1， 所以PAFNPA45， 此时cosNPA. PF PA PN PA 2 2 综上，的最小值为. PF PA 2 2 反思与感悟 1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已 知直线平行的直线，使
12、其与曲线相切，则切点为所要求的点 2在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线 的垂线段最短”来解决 跟踪训练 3 已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到 直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是_ 答案 2 解析 由题意知，直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线由抛物线的定义知，点 P 到直 线 l2的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线 y24x 上找一个点 P，使得点 P 到点 F(1,0)和到直线 l1的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线 l1：4x3
13、y60 的距离，即 d2. |406| 5 命题角度2 定值或定点问题 例 4 抛物线 y22px(p0)上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为抛物线的焦点，若 AF，MF，BF 成等差数列 (1)求证：线段 AB 的垂直平分线过定点 Q； (2)若 MF4，OQ6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程 (1)证明 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 AFx1 ，BFx2 ，MFx0 ，x0为已知值 p 2 p 2 p 2 由题意得 x0， x1x2 2 线段 AB 的中点坐标可设为(x0，t)， 其中 t0(否则 AFMFBFp0) y1y2 2 而 kAB ，
14、 y1y2 x1x2 y1y2 1 2py2 1y2 2 2p y1y2 p t 故线段 AB 的垂直平分线的方程为 yt (xx0)， t p 即 t(xx0p)yp0，可知线段 AB 的垂直平分线过定点 Q(x0p,0) (2)解 由 MF4，OQ6，得 x0 4，x0p6，联立解得 p4，x02.抛物线方程 p 2 为 y28x. 反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些 定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根 与系数的关系的利用、焦半径的转化等 跟踪训练 4 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线
15、y24x 相交于不同的 A，B 两点， 4，求证：直线 l 必过一定点 OA OB 证明 设 l：xtyb，代入抛物线 y24x， 消去 x 得 y24ty4b0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24t，y1y24b. 又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2 OA OB t2y1y2bt(y1y2)b2y1y2 4bt24bt2b24bb24b， 又4，b24b4， OA OB 解得 b2，故直线过定点(2,0) 1以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点 在坐标原点，则其方程为_ 答案 y28x 或 y28x 解析 设抛物线方程为
