《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §5 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §5 （23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 夹角的计算夹角的计算 学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间 的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解 知识点一 直线间的夹角 思考 1 设 s1，s2分别是空间两条直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2的夹角大小一定为 s1，s2吗？ 答案 不一定若 l1，l2的方向向量的夹角为内的角时，l1与 l2的夹角为s1，s2 ， 0， 2 否则为 s1，s2 思考 2 当两条直线平行时，它们的夹角是多少？ 答案 0. 梳理 (1)共面直线的夹角 当两条直线 l1与 l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两直线的夹角， 0， 2
2、 如图所示，当两条直线垂直时，夹角为 . 2 (2)异面直线的夹角 当直线 l1与 l2是异面直线时，在直线 l1上任取一点 A 作 ABl2，我们把直线 l1和直线 AB 的夹角叫作异面直线 l1与 l2的夹角，如图所示 两条异面直线的夹角的范围为，当夹角为 时，称这两条直线异面垂直 (0， 2 2 综上，空间两条直线的夹角的范围是. 0， 2 (3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定已知直线 l1与 l2的方向向量分别 为 s1，s2. 当 0s1，s2 时，直线 l1与 l2的夹角等于s1，s2 ； 2 当 s1，s2 时，直线 l1
3、与 l2的夹角等于 s1，s2 2 知识点二 平面间的夹角 思考 若平面 1与平面 2平行，则它们的夹角是多少？ 答案 0. 梳理 (1)平面间夹角的概念 如图，平面 1与 2相交于直线 l，点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 1上作直线 l1l，在平面 2上作直线 l2l，则 l1l2R.我们把直线 l1和 l2的夹角叫作平面 1与 2的 夹角 由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是. 0， 2 当夹角等于 0 时，两个平面重合；当夹角等于 时，两个平面互相垂直 2 (2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系 空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定 已
4、知平面 1与 2的法向量分别为 n1与 n2. 当 0n1，n2 时，平面 1与 2的夹角等于n1，n2 ； 2 当 n1，n2 时，平面 1与 2的夹角等于 n1，n2 2 事实上，设平面 1与平面 2的夹角为 ， 则 cos|cosn1，n2|. 知识点三 直线与平面的夹角 思考 若直线 l 与平面的夹角是 0，则直线 l 与平面是否一定平行？ 答案 不一定 梳理 (1)直线与平面夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示 (2)直线与平面夹角的范围 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是 0. 如果一条直线与一个平
5、面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 . 2 由此可得，直线与平面夹角的范围是. 0， 2 (3)利用向量计算直线与平面夹角的方法 空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定 设平面 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 所成的角为 . 当 0n，a 时， n，a ； 2 2 当 n，a 时，n，a . 2 2 即 sin|cosn，a|. 1直线与平面的夹角 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 互余() 2平面间的夹角的大小范围是.() 0， 2 3平面间的夹角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小() 4若直线 l?平面 ，则 l 与
6、平面 的夹角为 0.() 类型一 直线间的夹角求解 例 1 已知直线 l1的一个方向向量为 s1(1,0,1)，直线 l2的一个方向向量为 s2(1,2，2)， 求直线 l1和直线 l2夹角的余弦值 考点 题点 解 s1(1,0,1)，s2(1,2，2)， coss1，s20， s1s2 |s1|s2| 12 2 9 2 2 s1，s2 ， 2 直线 l1与直线 l2的夹角为 s1，s2 ， 直线 l1与直线 l2夹角的余弦值为. 2 2 反思与感悟 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹 角与两条直线的夹角之间的关系因为两条直线的方向向量的夹角的范围是0，而两 条
7、直线的夹角的范围是，所以这两者不一定相等，还可能互补 0， 2 由于任意两条直线的夹角 ，所以直线 l1和直线 l2夹角的余弦值等于|coss1，s2|. 0， 2 跟踪训练 1 如图所示，在三棱柱 OABO1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60，AOB90，且 OBOO12，OA，求异面直线 A1B 与 O1A 夹 3 角的余弦值 考点 题点 解 以 O 为坐标原点，OA，OB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 O(0,0,0)， O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)， 3333 (，1，)，(，1，) A1
8、B 33 O1A 33 |cos，| A1B O1A |A1B O1A | |A1B |O1A | . | 3，1， 3 3，1， 3| 7 7 1 7 异面直线 A1B 与 O1A 夹角的余弦值为 . 1 7 类型二 求平面间的夹角 例 2 如图，已知 ABCD 为直角梯形，DABABC90，SA平面 ABCD，SAABBC1，AD .求平面 SAB 与平面 SCD 夹角的余弦值 1 2 考点 题点 解 如图，以 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系 Axyz， 则 S(0,0,1)，D，C(1,1,0)， ( 1 2，0，0) B
9、(0,1,0)， ， SD ( 1 2，0，1) (1,1，1) SC 设平面 SCD 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n0，n0， SD SC Error!Error!Error!Error! 令 z1，得 n(2，1,1) 易得是平面 SAB 的一个法向量，且(1,0,0)， BC BC cos，n. BC BC n |BC |n| 6 3 设平面 SAB 与平面 SCD 的夹角为 ，则 cos. 6 3 反思与感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出两平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)确定平面间夹角的大小 跟
10、踪训练 2 如图，在四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC. (1)证明：SE2EB； (2)求平面 ADE 与平面 CDE 夹角的大小 考点 题点 (1)证明 以 D 为坐标原点，DA，DC，DS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)， (0,2，2)，(1,1,0)，(0,2,0) SC BC DC 设平面 SBC 的一个法向量为 m(a，b，c) 由 m
11、，m，得Error!Error! SC BC Error!Error!令 b1，则 m(1,1,1) 又设(0)，则 E， SE EB ( 1， 1， 2 1) . DE ( 1， 1， 2 1) 设平面 EDC 的一个法向量为 n(x，y，z) 由 n，n，得Error!Error! DE DC Error!Error!令 x2，则 n(2,0，) 由平面 EDC平面 SBC，得 mn，mn0， 20，即 2，SE2EB. (2)解 由(1)知 E，0，ECDE. ( 2 3， 2 3， 2 3) DE ( 2 3， 2 3， 2 3) EC ( 2 3， 4 3， 2 3) EC DE 取
12、线段 DE 的中点 F，则 F， ( 1 3， 1 3， 1 3) ， FA ( 2 3， 1 3， 1 3) 0，FADE. FA DE 向量与的夹角或其补角等于平面 ADE 与平面 CDE 的夹角 FA EC 计算得 cos， ， FA EC FA EC |FA |EC | 1 2 故平面 ADE 与平面 CDE 夹角的大小为 60. 类型三 直线与平面的夹角 例 3 已知直线 l 的一个方向向量为 s(1,0,0)，平面 的一个法向量为 n(2,1,1)，求直线 l 与平面 夹角的正弦值 考点 题点 解 coss，n0，s，n ， sn |s|n| 2 1 6 6 3 2 直线 l 与平
13、面 的夹角 s，n ， 2 sinsincoss，n. ( 2s，n) 6 3 即直线 l 与平面 夹角的正弦值为. 6 3 反思与感悟 注意公式 sin|cosn，a|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量 与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错 跟踪训练 3 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD，AS平面 ABCD，ADBC，ABBC，且 ASAB.求直线 CS 与底面 ABCD 夹角 的余弦值 考点 题点 解 由题设条件知，以 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Axyz(如图所示). 设 AB1
14、，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)(0,0,1)， ( 1 2，0，0) AS (1，1,1) CS 显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角为 90， AS CS 故有 sincos， AS CS |AS |CS | 1 1 3 3 3 0，90， cos. 1sin2 6 3 1在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这两 个平面夹角的余弦值为( ) A.B 15 6 15 3 C.D.或 15 3 15 6 15 6 考点 题点 答案 A 解析 由 0，1，32，2，4 19 4416 ， 212 10 24 15 6 知这两个平面夹角的余弦值为，故选 A. 15 6 2已知在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 DC 的中点，建立如图所示的空间 直角坐标系，则直线 AB1与 ED1夹角的余弦值为( ) A. 10 10 B. 10 5 C 10 10 D 10 5 考点 题点
