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1、目 录,第五章 定积分及其应用,目 录,第五章 定积分及其应用,5.1 定积分的概念与性质,复习导入,5.1 定积分的概念与性质,正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。,规则 图形,5.1 定积分的概念与性质,?,一、两个引例,5.1 定积分的概念与性质,曲边梯形的面积,5.1 定积分的概念与性质,曲边梯形是由连续曲线,所围成的平面图形。,与三条直线,曲边梯形面,积如何求？,曲边梯形的面积,5.1 定积分的概念与性质,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,5.1 定积分的概念与性质,解决步骤：,把区间a,b分成n个小区
2、间,(1)分割 用分点,曲边梯形的面积,5.1 定积分的概念与性质,在第i个小区间上任取一点,矩形的面积,相应小曲边梯形的面积,即,为高的小,近似代替,(2)近似代替,曲边梯形的面积,5.1 定积分的概念与性质,(4)取极限,令,则,(3)求和,分割越细，近似程度越高，当无限分割时，矩形面积和无限逼近曲边梯形面积。,曲边梯形的面积,5.1 定积分的概念与性质,?, 变速直线运动的路程,一、两个引例,5.1 定积分的概念与性质,解决步骤：,第i个小区间的长度记为,把时间区间a,b分成n个小区间,(1)分割 用分点, 变速直线运动的路程,5.1 定积分的概念与性质,(3)求和,(2)近似代替,(4
3、)取极限, 变速直线运动的路程,5.1 定积分的概念与性质,2.变速直线运动的路程,1. 曲边梯形的面积,一、两个引例,两个实例尽管实际意义差别很大，但他们的数学本质怎样呢？,5.1 定积分的概念与性质,定义1 设函数 在区间 上有定义，在 中插入 个分点， 把区间分成 个小区间 每个小区间的长度依次为 ，在每个小,定义1,5.1 定积分的概念与性质,二、定积分的概念,5.1 定积分的概念与性质,3. 规定,1.定积分是一个和式的极限，它的结果是一个常数。,说 明, 定积分的几何意义,定积分的值等于曲边梯形面积；,定积分的值等于曲边梯形面积的负值 .,5.1 定积分的概念与性质, 定积分的几何
4、意义,5.1 定积分的概念与性质,5.1 定积分的概念与性质,课堂实训,5.1 定积分的概念与性质,三、定积分的性质,推广,性质1,性质2,不论 相对位置如何，上式均成立,5.1 定积分的概念与性质,5.1 定积分的概念与性质,三、定积分的性质,性质4,性质5,5.1 定积分的概念与性质,( 积分中值定理 ),当 时,由曲线 ,直线 所围成的曲边梯形的面积，等于以区间 为底、以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积 .,性质6,5.2 微积分基本公式,一、变上限定积分,设函数 定义在 上，x为区间上的任意一点,定积分 表示的是图中阴影部分的面积随着积分上限x在区间内变化，定积分都 有惟一确
5、定的值与之相对应 , 故它 是x的函数，称它为积分上限函数，记作 ，即,5.2 微积分基本公式,上定理表明， 是连续函数 的一个原函数， 它揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.,5.2 微积分基本公式,【解】根据定理1，可得,公式,【解】,5.1 定积分的概念与性质,为方便计算，公式中的 通常记为 因此上述公式可写成,二、牛顿-莱布尼茨公式,定积分的值等于被积函数的一个原函数在积分上、下 限处的函数值之差。,5.2 微积分基本公式,所以，由牛顿莱布尼茨公式有,求定积分,例 3,5.2 微积分基本公式,【解】,【思考】定积分的计算与定积分的运算有什么异同？,5.2 微积分基本公式,求定积分
6、,例 5,【解】,5.2 微积分基本公式,被积函数是分段函数,由积分区间的可加性，得,【解】,5.2 微积分基本公式,1变上限积分函数的概念, 2变上限积分函数求导方法,3利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分,5计算定积分的常用技巧 ,4分段函数的定积分,小结,5.3 定积分的计算,一、定积分的换元积分法,设函数 在 上连续， 满足 (1) (2) 当 从 变化到 时， 单调地从 变化到 ； (3) 在 上连续 则 上式称为定积分的换元公式 ,定理2,计算,5.3 定积分的计算,例 1,【解】令,计算, 则,5.3 定积分的计算,例 2,【解】令,5.3 定积分的计算,【证明】因为,于是得,5.3
7、定积分的计算,例 4,所以,5.3 定积分的计算,所以, 重要结论,(2)奇函数的图像关于原点对称,(1)偶函数的图像关于y轴对称,5.3 定积分的计算,5.3 定积分的计算,计算定积分 ,例 5,计算定积分 ,对称所以,5.3 定积分的计算,例 6,二、定积分的分部积分法,5.3 定积分的计算,二、定积分的分部积分法,计算,【解】,【解】,计算,5.3 定积分的计算,例 7,例 8,计算,5.3 定积分的计算,例 9,【解】,1求定积分 ,*3求定积分 .,（答案： ）,2求定积分 ,（答案： ）,（答案： ）,4求定积分 .,5.3 定积分的计算,课堂实训,（答案： ）,5.4 反常积分,
8、一、无穷区间上的反常积分,由曲线 与 轴、 轴所“围成”的开口图形的面积A如何求？,5.4 反常积分,5.4 反常积分,类似定义,定义1,5.4 反常积分,如果 的原函数为 ，若记 则三种无限区间的反常积分可形式上写成: 用上述记号，省去了极限符号，书写更简便些但应注意， 要始终理解为求极限值,5.4 反常积分,【解】,【解】,5.4 反常积分,与 轴围成的面积 .,【解】 表示由 曲线,单调增加，即 ,当 时,函数,因此 发散,5.4 反常积分,当 时， 当 时， 因此，当 时， 收敛, 其值为 ； 当 时， 发散,【解】,5.4 反常积分,二、有限区间上无界函数的反常积分,设函数 在 上连
9、续，且 ，若,存在，则称则称此极限值为函数 在区间 上的反常积分， 记作 ，即,此时也称反常积分 收敛，否则称反常积分发散。,类似地可定义：,其中,定义2,5.4 反常积分,二、有限区间上无界函数的反常积分,求,【解】因为 ，所以 是反常积分，则,例 4,5.4 反常积分,【解】因为 ，所以 是反常积分，且,又由于,故反常积分 发散，所以 也发散,5.4 反常积分,【解】 当 时，则有,当 时，则有,因此，当 时，该反常积分收敛，其值为 ； 当 时，该反常积分发散,5.4 反常积分,1计算 ,（答案： ）,（答案：发散 ）,2计算 ,3计算 ,（答案： ）,1广义积分的概念,3无界函数的计算与
10、判敛 ,小结,2无穷限的广义积分的计算与判敛 ,课堂实训,5.5 应用与实践,一、微元法,5.5 应用与实践,通常将这种在微小的局部上进行数量分析的方法称为微元法.,这样便得到了总量的积分式.,5.5 应用与实践,二、 平面图形的面积,1直角坐标系中平面图形的面积,面积 的值等于图形的上边界所对应的函数 与下边界所对应的函数 之差在区间 上的定积分,5.5 应用与实践,()由左、右两条连续曲线 、 （ ）与两条平行直线 、 所围成的图形的面积 的计算公式：,面积 的值等于图形的右边界所对应的函数 与左边界所对应的函数 之差在区间 上的定积分,5.5 应用与实践,【解】画草图,观察上图，运用面积
11、公式可得所求面积为,解方程组 ,得,【案例1】求由曲线 和直线 所围成的平面图形的积,选 作积分变量图形在 轴上的投影区间 为定积分的积分区间,5.5 应用与实践,【解】解方程组,得两交点坐标为(0,0)和(1,1),求解面积问题的步骤： (1) 作草图：求曲线的交点，确定积分变量和积分限； (2) 写出面积的定积分表达式； (3) 计算定积分,【案例2】 计算两条抛物线 与 所围成的面积,选取 为积分变量，则积分区间为 ，根据面积公式(1) ，所求的面积为,5.5 应用与实践,【解】因为椭圆关于两坐标轴对称，所求椭圆的面积等于椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围图形的面积的4倍，即,令,则 且有
12、,【案例3】 求椭圆 所围成的面积,5.5 应用与实践,5.5 应用与实践,【解】解方程组,得交点坐标为(2,-2)和(8,4),所求的面积为,【案例4 】求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积,【另解】选 为积分变量，根据公式（1）得所求面积,5.5 应用与实践, 2极坐标系中平面图形的面积,从而得所求曲边扇形的面积为,5.5 应用与实践,【解】用曲边扇形的面积公式计算由于图形关于极轴对称，所以所求面积为,【例4】求心形线 所围图形的面面积 .,5.5 应用与实践,三、旋转体的体积,由平面图形 绕定直线 旋转一周生成的立体称为旋转体，定直线 称为旋转轴,1. 连续曲线 与直线 及 轴所围成
13、的曲边梯形绕 轴旋转一周生成的旋转体，其体积可用微元法求得：,在区间 上取小间 ,将该小区间上的旋转体视作底面积为 、高为 的薄圆柱，得体积微元,5.5 应用与实践,则旋转体的体积为,2. 连续曲线 与直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周生成的旋转体体积为,5.5 应用与实践,【例5】 求由椭圆 所围成的图形分别绕 轴和 轴旋转所生成的旋转体的体积,【解】 由于椭圆关于坐标轴对称，所以所求的体积 是椭圆在第一象限内形成的曲边梯形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积的二倍，即,当绕 轴旋转时，由公式(4) 得,5.5 应用与实践,当绕 轴旋转时，由公式(5) 得,5.5 应用与实践,四、定积分的
14、其他应用,( 为常数）,由物理学知识知道：质量为 和 ，相距为 的两质点间的引力为,【例6 】 设有均匀的细杆，长为 ，质量为 ，另有一质量为 的质点位于细杆所在的直线上，且到杆的近端距离为 ，求杆与质点之间的引力,【解】已知两质点之间的引力公式，所以将细杆分成许多微小的小段，这样可以把每一段近似看成一个质点，而且这许多小段对质量为 的质点的引力都在同一方向上，因此可以相加,5.5 应用与实践,所以细杆与质点之间的引力为,如图所示，取积分变量为 ，在 中的任意子区间 上细杆的相对应小段的质量为 ，该小段与质点距离近似为 ，于是引力 的微元为,5.5 应用与实践,功,【例8】 一圆台形状的容器高为5 m，上底圆半径为2 m，下底圆半径为3 m，问将容器内盛满的水全部吸出需作多少功？,如果作用在物体上的力 不是常力 , 或者沿物体的运动方向
