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1、课时跟踪检测（五十五）课时跟踪检测（五十五） 题型上题型上全析高考常考的全析高考常考的 6 6 大题型大题型 1(2019唐山联考)已知F为抛物线E：y24x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线 m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k. (1)求k的取值范围； (2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点 Q(2,0) 解：(1)由题设可知k0， 所以直线m的方程为ykx2， 与y24x联立，整理得ky24y80. 由11632k0，解得k . 1 2 直线n的方程为yx2，与y24x联立， 1 k 整理得y24ky8
2、k0， 由216k232k0，解得k0 或k2. 所以Error! 故k的取值范围为(，2). (0， 1 2) (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0) 由得，y1y2 ，则y0 ，x0 ，则M.同理可得N(2k22k，2k) 4 k 2 k 2 k2 2 k ( 2 k2 2 k， 2 k) 直线MQ 的斜率kMQ， 2 k 2 k2 2 k2 k k2k1 直线NQ 的斜率kNQkMQ， 2k 2k22k2 k k2k1 所以直线MN过定点 Q(2,0) 2已 知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率 为. 3 2 (1)求椭圆C
3、的方程； (2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点 D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为 . 4 5 解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 由题意得Error!解得c，所以b2a2c21， 3 所以椭圆C的方程为y21. x2 4 (2)证明：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，y0)，2x02，所以kAM， y0 x02 因为AMDE，所以kDE， 2x0 y0 所以直线DE的方程为y(xx0) 2x0 y0 因为kBN， y0 x02 所以直线BN的方程为y(x2) y0 x02 由E
4、rror!解得E， ( 4 5x0 2 5， 4 5y0) 所以SBDE |BD|yE|，SBDN |BD|yN|， 1 2 1 2 所以 ， SBDE SBDN 1 2|BD|yE| 1 2|BD|yN| | 4 5y0| |y0| 4 5 结论成立 3(2019南昌模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线 为l，过焦点F的直线交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，y1y2 4. (1)求抛物线C的方程； (2)如图，点B在准线l上的正投影为E，D是C上一点，且ADEF， 求ABD面积的最小值及此时直线AD的方程 解：(1)依题意知F， ( p 2，0) 当直线AB的斜
5、率不存在时，y1y2p24，解得p2. 当直线AB的斜率存在时，设lAB：yk(k0)， (x p 2) 由Error!消去x并整理，得y2yp20， 2p k 则y1y2p2，由y1y24 得p24，解得p2. 综上所述，抛物线C的方程为y24x. (2)设D(x0，y0)，B， ( t2 4 ，t) 则E(1，t)，又由y1y24，可得A. ( 4 t2， 4 t) 因为kEF ，ADEF，所以kAD ， t 2 2 t 则直线AD：y ，化简得 2xty40. 4 t 2 t(x 4 t2) 8 t2 由Error!消去x并整理，得y22ty80，(2t)244t2320 16 t2 (
6、8 16 t2) 64 t2 恒成立， 所以y1y02t，y1y08. 16 t2 于是|AD| |y1y0| 1t2 4 ， 1t2 4y1y024y1y04t2 t216 t28 设点B到直线AD的距离为d，则d. | t2 2 t24 8 t2| 4t2 |t2 16 t28| 2 4t2 所以SABD |AD|d 16， 1 2 1 4 (t2 16 t28)3 当且仅当t416，即t2 时取等号，即ABD的最小值为 16. 当t2 时，直线AD：xy30；当t2 时，直线AD：xy30. 4(2019昆明调研)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为 4，P是椭圆C上的 x2 a2 y2 b
7、2 (2， 5 5) 点 (1)求椭圆C的方程； (2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设，证明： OD OA OB 直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值 解：(1)由题意知 2c4，即c2， 则椭圆C的方程为1， x2 a2 y2 a24 因为点P在椭圆C上， (2， 5 5) 所以1，解得a25 或a2(舍去)， 4 a2 1 5a24 16 5 所以椭圆C的方程为y21. x2 5 (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2且x1x20， 由得，D(x1x2，y1y2)， OA OB OD 所以直线AB的斜率kAB， y1y2 x1x2 直线OD的
8、斜率kOD， y1y2 x1x2 由Error!得 (x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即 ，所以 1 5 y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 1 5 kABkOD . 1 5 故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值 . 1 5 5已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点 (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于 4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为 x2 a2 y2 b2 F(2,0)
9、从而有Error!解得Error! 又a2b2c2，所以b212.故椭圆C的方程为1. x2 16 y2 12 (2)假设存在符合题意的直线l， 设其方程为yxt. 3 2 由Error!得 3x23txt2120. 因为直线l与椭圆C有公共点， 所以(3t)243(t212)1443t20， 解得4t4. 33 另一方面，由直线OA与l的距离等于 4，可得4，从而t2.由于24 |t| 9 411313 ，4 ， 33 所以符合题意的直线l不存在 6(2019新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为 2，且过点. x2 a2 y2 b2 (1， 2 2) (1)求椭圆C的方程； (
10、2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足 t，其中t，求|AB|的取值范围 OA OB OP ( 2 6 3 ，2) 解：(1)依题意得Error!解得Error! 椭圆C的方程为y21. x2 2 (2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x2)由Error!得(12k2) x28k2x8k220， 8(12k2)0，解得k2 . 1 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x24) 8k2 12k2 8k22 12k2 . 4k 12k2 由t，得P， OA OB OP ( 8k2 t12k2， 4k t12k2) 代入椭圆C的方程得t2. 16k2 12k2 由t2，得 k2 ， 2 6 3 1 4 1 2 |AB| 1k2 2 2 12k2 12k2 2. 2 12k22 1 12k21 令u，则u， 1 12k2 ( 1 2， 2 3) |AB|2. 2u2u1 (0， 2 5 3 ) |AB|的取值范围为. (0， 2 5 3 )
