《2018_2019版高中数学第四章用数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例试题新人教A版选修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019版高中数学第四章用数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例试题新人教A版选修4（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二二 用数学归纳法证明不等式举例用数学归纳法证明不等式举例 课后篇巩固探究巩固探究 1 1.用数学归纳法证明 1+1)时,第一步是证下述哪个不等式成立( ) 1 2 + 1 3 1 2 - 1 A.1-1,x0,则下列不等式正确的是( ) A.(1+x)3 - 1 2 A.1B.2C.3D.4 解析当n=1 时,左边=1,右边=10=1,11,不成立;当n=2 时,左边=2+1=3,右边=,3 1 1 1 2+ 2 2 2 1 2 =2 ,成立;当n=3 时,左边=3+3+1=7,右边=31=3,73,成立. 2 1 3+ 2 3+ 3 3 所以n的最小值n0为 2. 答案 B 4 4.导学号
2、 26394067 某同学回答“用数学归纳法证明时,f(2k+1)比f(2k)多的项为 . 1 2 + 1 3 1 2 解析f(2k+1)-f(2k)=1+. 1 2 + 1 3 1 2 + 1 (1 + 1 2 + 1 3 + + 1 2) = 1 2+ 1 + 1 2+ 2 1 2 + 1 答案+ 1 2+ 1 + 1 2+ 2 1 2 + 1 6 6.已知x0,观察下列几个不等式:x+2;x+3;x+4;x+5归纳猜想一般的不等式 1 4 2 27 3 256 4 为 . 答案x+n+1(n为正整数) 7 7.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,nN N+)时,假设当n=k时不等式 +
3、2 ( + 2 ) (*)成立,再推证当n=k+1 时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘 . + 2 ( + 2 ) 解析对比k与k+1 时的结论可知,两边只需同乘即可. + 2 答案 + 2 8 8.用数学归纳法证明 1+ 24 n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论. 解取n=1,则有成立, 1 2 + 1 3 + 1 4 24 所以,因此a 24 即正整数a的最大值为 25. 以下用数学归纳法证明. +对一切正整数n都成立. 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 1 3 + 1 25 24 (1)当n=1 时不等式成立. (2)假设当n=k(k1)时不等式成立, 即+,
4、1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 1 3 + 1 25 24 当n=k+1 时, + 1 ( + 1) + 1 + 1 ( + 1) + 2 + 1 ( + 1) + 3 1 3( + 1) + 1 =. ( 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + + 1 3 + 1) + 1 3 + 2 + 1 3 + 3 + 1 3 + 4 1 + 1 25 24 + 1 3 + 2 + 1 3 + 4 - 2 3( + 1) 因为, 1 3 + 2 + 1 3 + 4 = 6( + 1) 92+ 18 + 8 6( + 1) 92+ 18 + 9 = 6( + 1) 9( + 1)2
5、= 2 3( + 1) 所以0, 1 3 + 2 + 1 3 + 4 2 3( + 1) 于是+, 1 ( + 1) + 1 + 1 ( + 1) + 2 + 1 ( + 1) + 3 1 3( + 1) + 1 25 24 即当n=k+1 时不等式成立. 由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+,且正整数a的最大 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 1 3 + 1 25 24 值等于 25. 1010.导学号 26394069 已知数列an满足:a1=,且an=(n2,nN N+). 3 2 3 - 1 2 - 1+ - 1 (1)求数列an的通项公式; (2)求证对一切正整数n,不
6、等式a1a2an 1 2 显然,左端每个因式皆为正数,先证明对nN N+,有 ( 1 - 1 3) ( 1 - 1 32) ( 1 - 1 3) 1-. ( 1 3 + 1 32 + + 1 3) 下面用数学归纳法证明式: 当n=1 时,显然式成立, 假设当n=k(k1)时,式成立, 即 ( 1 - 1 3) ( 1 - 1 32) ( 1 - 1 3) 1-. ( 1 3 + 1 32 + + 1 3) 当n=k+1 时, ( 1 - 1 3) ( 1 - 1 32) ( 1 - 1 3) ( 1 - 1 3 + 1) 1 - ( 1 3 + 1 32 + + 1 3)( 1 - 1 3 + 1) =1-( 1 3 + 1 32 + + 1 3) 1 3 + 1 + 1 3 + 1 (1 3 + 1 32 + + 1 3) 1-. ( 1 3 + 1 32 + + 1 3 + 1 3 + 1) 即当n=k+1 时,式也成立. 故对一切nN N+,式都成立. 利用,得( 1 - 1 3) ( 1 - 1 32) ( 1 - 1 3) 1-( 1 3 + 1 32 + + 1 3) =1- 1 3 1 - ( 1 3) 1 - 1 3 =1-. 1 2 1 - ( 1 3) =1 2 + 1 2( 1 3) 1 2 故原不等式成立.
