第 四 章,机械振动基础,振动是日常生活和工程实际中常见的现象 例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务2. 振动的利弊：,1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和受迫振动第四章 机械振动基础,§4-1 单自由度系统的自由振动§4-2 计算固有频率的能量法§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动§4-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动§4-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动§4-6 转子的临界转速§4-7 隔振§4-8 两个自由度系统的自由振动§4-9 两个自由度系统的受迫振动 · 动力减振器,§4-1 单自由度系统的自由振动,1. 自由振动微分方程,,l0 —— 弹簧原长；k —— 弹簧刚度系数；,st —— 弹簧的静变形；,取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：,恢复力：物体偏离平衡位置后受到的与偏离距离成正比且与偏离方向相反的合力,只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动,令 ，则,无阻尼自由振动微分方程的标准形式。
二阶齐次线性常系数微分方程，其通解为,,无阻尼自由振动是简谐振动,2. 无阻尼自由振动的特点,（1）固有频率,无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动,f 称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hz,w0 称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2p秒内振动的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率2）振幅与初相位,A——相对于振动中心O的最大位移，称为振幅 0 t + q ——决定了质点在某瞬时 t 的位置，称为相位 q ——决定质点运动的初始位置，称为初相角振幅A和初相角q —两个待定常数由运动的初始条件确定例 题 1,提升重物系统中，钢丝绳的横截面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性模量E＝200GPa重物的质量m＝6000kg，以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降当重物下降到 l ＝25m 时，钢丝绳上端突然被卡住求：（1）重物的振动规律； （2）钢丝绳承受的最大张力解：（1）重物的振动规律 钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧质量系统，弹簧的刚度为,设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为坐标，则系统的振动方程为,方程的解为,利用初始条件,求得,重物的运动方程为,（2）钢丝绳承受的最大张力。
取重物为研究对象,均质等截面悬臂梁，长度为 l,弯曲刚度为EI梁的自由端放置一质量为m的物块，其静挠度为dst若不计梁的质量，物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律例 题 2,,解：此无重弹性梁相当于一个弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长，则梁的刚度系数为,分析物块运动到任意位置(坐标为x)时的受力，有,设 ，则,上述振动微分方程的解为,初始条件为,振幅为,初相角为,系统的自由振动规律为,3. 弹簧的并联与串联,（1）弹簧并联,并联,则此并联系统的固有频率为,串联,（2）弹簧串联,则此串联系统的固有频率为,（3）多个弹簧的并联和串联,n个弹簧并联后的等效刚度系数,n个弹簧并联系统的固有频率,n个弹簧串联后的等效刚度系数,n个弹簧串联系统的固有频率,解：（1）计算3、4的等效刚度,（2）计算2、3、4的等效刚度,（3）计算系统的等效刚度,（4）计算系统的固有频率,在图中，当把弹簧原长在中点O 固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比值为 在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为0，现将物块和上部的弹簧换位，即将物块移至最上端处，假设系统仍然能发生振动，则系统的固有频率= 0 。
1 / 2,4. 其他类型的单自由度振动系统,工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分方程表示,扭振系统,由刚体转动微分方程有,令 ，则,解：取静平衡位置为其坐标原点，由刚体转动微分方程，有,在静平衡位置处，有,考虑到微转角，则,,在静平衡位置处，有,考虑到微转角，则,§4-2 计算固有频率的能量法,物块的动能为,取静平衡位置为零势能点，有,在静平衡位置处，有,物块在平衡位置处，其动能最大,物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大,无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒,,解：设OA杆作自由振动时，其摆角 的变化规律为,系统的最大动能为,系统的最大势能为,由机械能守恒定律有,,例 题 6,（用第二类拉格朗日方程解）,由运动学可知：,解：取摆角 为广义坐标，则系统的动能,系统的势能,拉格朗日函数为,,,,,,微振动固有频率为,解：设摆角 的变化规律为,系统的最大动能为,取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为,,考虑到微转角，则,,由机械能守恒定律有,刚体的平面运动微分方程？,达朗贝尔原理？,虚位移原理？,动能原理？,§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,阻尼－振动过程中的阻力。
干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力当振动速度不大时，由介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼c－粘性阻力系数（阻力系数）,1. 阻 尼,2. 振动微分方程,取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响物块的运动微分方程为,,弹性恢复力,粘性阻尼力,令,,阻尼系数,本征方程,本征根,本征根为实数或复数时，通解的形式不同，运动规律有很大的不同设其解为,振动微分方程的通解为,3. 欠阻尼状态,振动微分方程的解为,利用初始条件,求得,或,当 d < 0 时，阻力系数 ，这时阻尼较小，称为欠阻尼状态本征方程的两个根为共轭复数，即：,衰减振动,A2,A1,衰减振动的周期：,引入阻尼比：,得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：,两个相邻振幅之比称为减缩因数,,振幅,对上式两端取自然对数，得到对数减缩,,4. 临界阻尼和过阻尼状态,振动微分方程的解为,C1和C2两个积分常数由运动的初始条件决定物体的运动随时间的增长无限地趋向平衡位置，运动已经不具备振动的特点。
当 d = 0 时，阻力系数 ，称为临界阻力系数本征方程有两个相等的实根，即：,振动微分方程的解为,C1和C2两个积分常数由运动的初始条件决定当 d > 0 时，阻力系数 ，称为过阻尼状态本征方程有两个不等的实根，即：,,,质量弹簧系统，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm求阻尼系数c 解：,由于 很小，,例题8,§4-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动,受迫振动的概念 受迫振动：在外加激振力作用下的振动 简谐激振力： H—力幅； — 激振力的角频率 ； j — 激振力的初相位无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程1、振动微分方程,,为对应齐次方程的通解为特解,3、受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关2. 受迫振动的振幅,1、在简谐激振力下，单自由度系统受迫振动亦为简谐振动2、受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。
1) →0时,(2) 时，振幅b随 增大而增大；当 时，,(3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 b 随 增大而减小；,3、共振现象,，这种现象称为共振此时，,§4-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动,将上式两端除以m ，并令,,有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程x1是齐次方程的通解,欠阻尼：,（A、q 积分常数，取决于初始条件）,振动微分方程的全解为,,,振动开始时，二者同时存在的过程——瞬态过程仅剩下受迫振动部分的过程——稳态过程（需着重讨论部分）,因此：,阻尼对受迫振动的影响,1、振动规律 简谐振动2、频率： 有阻尼受迫振动的频率，等于激振力的频率3、振幅,,,(1),—共振频率,此时：,,相位差有阻尼受迫振动相位总比激振力滞后一相位角， 称为相位差1) 总在0至 区间内变化2) 相频曲线（ - 曲线）是一条单调上升的曲线 随 增 大而增大。
3) 共振时 =1， ，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线， 均交于这一点4) >1时， 随 增大而增大当 > > 1时 ，反相例题9 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600N·s/m , 求b, ,受迫振动方程解：,,,§4-6 转子的临界转速,56,引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算单圆盘转子： 圆盘：质量m , 质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC= e ，盘和轴共同以匀角速度 转动 当< 0（ 0为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC= rA+e (rA为轴中点A的弯曲变形）k为转轴相当刚度系数）,临界角速度：临界转速：,,,质心C位于O、A之间 OC= rA- e,当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，圆盘接近于绕质心C旋转，于是转动平稳 为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速§4-7 隔 振,,,减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。
减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作 许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱例如， 利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性 装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。