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1、复习,1、周期信号的傅里叶变换 2、傅里叶系数与傅里叶变换的关系,一、频率响应,傅里叶分析是将信号分解为众多不同频率 的虚指数函数之和（积分），因此首先讨论虚指数函数作用于LTI系统引起的响应(零状态）；再讨论任意信号作用系统所引起的响应，得出响应的频域求解方法；从而引出频域中反映系统特性的函数-频率响应（函数）。,前面我们讨论了信号的频域分析，本节将研究系统的激励与响应在频域中的关系，即系统的频域分析。,3.7 LTI系统的频域分析,1、 虚指数函数 作用于LTI系统所引起的零状态响应,设,虚指数函数作用于 LTI系统所引起 的响应（零状态）是系数为 的同频率的虚指数函数，仅是幅度及相位发生
2、变化，但频率不变。 。,系统的冲激响应是,当激励为任意信号 ，由式 得,2、任意信号输入时的响应,若令响应 的频谱函数为 ，则由上式得,频率响应（函数）（有时也称为系统函数）可定义 为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换 与激励的傅里叶变换 之比，即,令 则有,3、频率响应的定义,称为系统的幅频特性（或幅频响应）,称为系统的相频特性（或相频响应）,是 的偶函数， 是 的奇函数。,幅频特性代表系统对不同频率输入信号放大或衰减的倍数.,幅频特性和相频特性的物理含义:,相频特性代表系统对不同频率输入信号相移的大小.,利用频域函数分析系统问题的方法，常称为频域分析法或傅里叶变换法。,4、频域分析,时域分
3、析与频域分析的关系如下图所示。,5、例题,例3.7-1 某LTI系统的幅频响应 和相频响应 如 下图所示。若系统的激励 ， 求系统的响应。,书上介绍了两种方法,一种是傅里叶级数法;一种是傅里叶变换法;但对于周期信号还有一种方法-正、余弦函数响应法。,解法三：正、余弦函数响应法,本题,例3.7-2 描述某系统的微分方程为 求输入 时系统的零状态响应。,解: 令 ， 对方程取傅里叶变换，得,由上式可得该系统的频率响应函数,取傅里叶逆变换得,例3.7-3 如下图所示的 电路，若激励电压源 为 单位阶跃函数 ，求电容电压 的零状态响应。,解: 图中网络的频率响应函数（或称转移函数）为,式中 。,例3.
4、7-4 如下图所示的系统，已知 乘法器的输入 系统的频率响应 ， 求输出 。,解: 由图可知，乘法器的输出信号 ， 依频域卷积定理可知，其频谱函数,令 ， 根据对称性可得,解：,的频谱函数,取上式的傅里叶逆变换 ：,二、无失真传输,所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度 大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。,问：LTI系统的 应满足什么条件，才能够实现无失真传输信号？,应满足：,幅频特性是常数；,相频特性是通过原点的直线（斜率的 负值为延迟时间）,以上是无失真传输的理想条件。一般对限带信号而言，只要在信号有限带宽内满足该条件即可实现无失真传输。,无失真传输系统的理想条件是: 幅频
5、特性为常数;相频特性为过原点的直线.即对所有频率成分具有相同的时移.,三、 理想低通滤波器 的响应,具有如图所示的幅频特性和相频特性的系统 理想低通滤波器。,或,-1,根据傅里叶变换的对称性可知，由,1、理想低通滤波器的冲激响应,理想低通滤波器的冲激响应 是频率响应函 数 的傅里叶逆变换，因此，理想低通滤波 器的冲激响应 ：,再由时移特性，得理想低通滤波器的冲激响应：,-1,我们可以画出其波形，见下页：,其波形如下图所示。由图可见，理想低通滤波器的冲 激响应的峰值比输入的 延迟了 。,2、理想低通滤波器的阶跃响应,令正弦积分，,下面就来画出阶跃响应的波形。,先画出 ，再做尺度变换得到 最后画出
6、 。,正弦积分，,下面我们讨论几个问题: 上升时间; 最大值; 吉布斯现象; 因果性;,由上图可见，在 处阶跃响应上升最快，如果定 义信号的上升（或称建立）时间 为 在 处的 斜率的倒数，则上升时间 为：,可见，滤波器的通带愈宽，即截止频率愈高，其阶跃响应上升时间愈短，波形愈陡峭。,1、阶跃响应的上升时间与系统的通带宽度成反比。,它与滤波器的通带宽度无关。因此，增大滤波器的通 带，不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近 处。,3、当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近原信号时， 如果原信号包含间断点，那么，在各间断点处，其 恢复的信号将出现过冲，这种现象称为吉布斯现象。,4、理想低通滤波器是物理不可实现的。,2、,理想低通滤波器是物理不可实现的。但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成。,为了能根据系统的频率响应函数判断系统是否物理可实现的，就希望找到物理可实现系统特性所满足的条件。,时域来说：,称为佩利维纳准则。,且,频域来说：,称为佩利维纳准则。,可见，如果系统的幅频特性在某一有限频带内为零， 则在此频带范围内， 从而不满足上式，这样的系统是物理不可实现的。,本节小结,1、频率响应的概念 2、无失真传输的条件 3、理想低通滤波器的响应,
