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1、第8章 相量法,2. 正弦量的相量表示,3. 电路定律的相量形式,重点：,1. 正弦量的表示、相位差,复数F 的表示形式,8.1 复数,1. 复数及运算,（1）代数形式,复数 F 在复平面上是一个坐标点，常用原点至该点的向量表示。,（2）三角形式,（3）指数形式,根据欧拉公式,复数的三角形式可转换为指数形式,（4）极坐标形式,Re F = a , 取复数的实部 Im F = b， 取复数的虚部,用F *表示复数F 的共轭复数,复数运算,则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2,图解法,F1+F2,(2) 乘除运算采用极
2、坐标形式,除法：模相除，辐角相减。,乘法：模相乘，辐角相加。,则:,(3) 旋转因子,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq 相当于把 A 逆时针旋转一个角度 ，而 A 的 模不变。故把 e j 称为旋转因子。,故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,几种不同 值时的旋转因子,例1,解,例2,解,8.2 正弦量,1. 正弦量,正弦电流表达式：,i=Imcos(w t+i),波形：,周期T 和频率f,频率f ：每秒重复变化的次数。,周期T ：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz，赫兹,单位：s，秒,电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。,幅值 (振幅、最大值)
3、Im,(2) 角频率 w,2. 正弦量的三要素,单位： rad/s ，弧度 / 秒,反映正弦量变化幅度的大小,是正弦量的相位随时间变化的角速度，反映正弦量变化快慢。,i = Imcos(w t+i),(3) 初相位i,(t + i ) 称为正弦量的相位（相角）。,当t=0时，相角(t + i ) = i ，故称i为初相位（角），简称初相。反映正弦量的计时起点。,一般规定：| i |180,3. 周期电流、电压的有效值,周期电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,工程中将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与其相等的直流量，以衡量和比较周期电流或电
4、压的效应，该直流量就称为周期量的有效值。,周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,周期电流、电压有效值定义,周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值的平方根。有效值也称均方根值。,正弦电流、电压的有效值,设 i = Imcos( t + i ),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U= 220V，则其最大值为Um 311V；,U= 380V， Um 537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
5、但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,（3）电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,4. 同频率正弦量的相位差,设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+y i),则 相位差 ：j = (w t+ u) - (w t+ i) = u- i,j 0， u 超前 i，或 i 滞后u (u 比 i 先到达最大值)；, j 0， i 超前 u ，或u 滞后 i (i 比 u 先到达最大值)。,等于初相位之差,规定： | | ( 180)。,j = (180o ) ，
6、u与 i 反相,特殊相位关系：,= / 2， 称 u 和 i 正交,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,j = 0 ，u与 i 同相,在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率正弦量。 如果电路有多个激励且都是同一频率的正弦量，则根据线性电路的叠加性质，电路全部响应都将是同一频率的正弦量。处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，又称正弦电流电路。 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。,8.3 相量法的基础,i1,i1+i2 i3,i2,角频率： 有效值： 初相位：,两个正弦量的相加,因同频率的正弦量相加仍得到同频率的正弦量，所以，只要确定
7、初相位和有效值(或最大值)就行了。,1. 正弦量的相量表示,i3,实际是变换,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁琐。,正弦量的相量表示,选一个复函数,对A取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,复常数包含了 I , i,将该复常数定义为正弦量 i 的相量，记为,加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1,试用相
8、量表示i, u .,解,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,在复平面上用向量表示相量的图,相量图,2. 相量法的应用,(1) 同频率正弦量的加减,故同频率正弦量的加减运算可变换成对应相量的相加减运算。,例,也可借助相量图计算,首尾相接,求和,2 . 正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题,（2）把微积分方程的运算变为复数代数方程运算,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路,1. 基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：
9、,8.4 电路定律的相量形式,任一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL 任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL,2. 电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,有效值关系,相位关系,UR=RIR,u=i u，i 同相位,相量图：,相量模型,相量关系：,时域形式：,相量形式：,3. 电感元件VCR的相量形式,相量模型,相量关系：,相量图：,时域形式：,相量形式：,4. 电容元件VCR的相量形式,( i 超前 u 90),相量模型,相量关系：,相量图,0， |1/C | 直流开路(隔直) ，| 1/C |0 高频短路(旁路作用),例,试判断下列表达式的正、误：,L,例1,解,例2,解,例8-5 图示电路，电流表A1的读数为5A， A2的读数为20A， A3的读数为25A， 求电流表A和A4的读数。,
