《MATLAB辅助现代工程数字信号处理 第二版 教学课件 ppt 作者 李益华 第6-10章_ 第10章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLAB辅助现代工程数字信号处理 第二版 教学课件 ppt 作者 李益华 第6-10章_ 第10章（79页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第10章 随机信号的高阶谱分析,10.1 高阶累积量与高阶谱 10.2 累积量与双谱的性质 10.3 双谱估计 10.4 高阶谱分析的应用 10.5 小结,10.1 高阶累积量与高阶谱 10.1.1 累积量 设X表示有限阶矩的随机变量，定义X的矩生成函数或特征参数为,(10.1),x()=Eexp(jX),考虑由k个实随机变量xk组成一个随机向量X=x1，x2，xkT，设=1，2，kT，定义xk的联合特征函数为,(10.2),或,(10.3),定义序列xk的k阶累积量生成函数为,(10.4),考虑各态遍历序列的情况，定义k个实随机变量(x1，x2，xk)的r阶联合累积量为,(10.5),式中，
2、r=r1+r2+rk。,定义随机变量(x1，x2，xk)的r阶联合矩为,(10.6),因此，随机变量的联合累积量可以通过它的联合矩来表示。考虑r1=r2=rk=1的情况，对于具有零均值的实随机变量，其二阶、三阶和四阶累积量分别为,(10.7),(10.8),(10.9),由此可知，三阶以下的累积量和矩是等价的，但四阶以上是不同的。四阶以上累积量包含四阶矩及互相关函数。,由累积量确定矩的关系为,(10.10),(10.11),假定序列x(t)为一零均值的k阶实平稳随机过程，满足各态遍历性， 其k阶累积量定义为随机变量x(t)，x(t+1)，x(t+k1)的联合k阶累积量,(10.12),根据平稳
3、性的假设，可知,(10.13),(10.14),(10.15),为了更明确地说明累积量的物理意义，这里介绍累积量的另一种定义。设x(t)为一零均值的k阶实平稳随机过程，设g(t)为一高斯随机过程，若x(t)和g(t)具有相同的自相关函数，则定义x(t)的k阶累积量为,(10.16),【例 10.1】 利用MATLAB产生两个远程的发送信号，并采用归一化处理使其中一个信号有时延; 然后利用MATLAB产生两个相互独立、互不相关的噪声，且噪声满足零均值; 再将噪声加入到发送信号上，形成两个基站的接收信号; 最后求两个接收信号的高阶累积量。 MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1
4、0-1 %常量初始化* N=2048; %取2048个时间点 w0=pi/4; %主频 d1=25; %时间延迟，用来对信号作归一化处理 d2=10; m=50; p=25; %信号源* signal1=zeros(1，N); %1行N列的值都为零的矩阵,signal2=zeros(1，N); st=signalSOI(N); %2048个值为1或者-1的一维矩阵 for i=1: N signal1=st*cos(w0*i); end for i=1: Nd1d2 %归一化处理使信号2(signal2)在信号1的时延基础上产生 signal2(1，i)=signal1(1，i+d1)+sig
5、nal1(1，i+d2); end %平稳随机过程的噪声* noise1=normrnd(0，0.7，1，N); %产生均值为0，方差为0.7，1行N列的随机噪声 noise2=normrnd(0，0.7，1，N); %产生均值为0，方差为0.7，1行N列的随机噪声,%形成接收信号* x=signal1+noise1; y=signal2+noise2; %求高阶累积量* Cyx=zeros(2*m+1，1); b=0.25; % cycle frequency for t=m: 1: m if t=0 for n=1: Nt Cyx(m+1t，1)=Cyx(m+1t，1)+y(1，n+t)*
6、y(1，n+t)* x(1，n)*x(1，n)*exp(j*2*pi*b*(n+t/2); end Cyx(m+1t，1)=Cyx(m+1t，1)/N; else,for n = t+1: N Cyx(m+1t，1)=Cyx(m+1t，1)+y(1，n+t)*y(1，n+t)* x(1，n)*x(1，n)*exp(j*2*pi*b*(n+t/2); end Cyx(m+1t，1)=Cyx(m+1t，1)/N; end end Cx=zeros(2*m+1，2*p+1); for l=m-p: 1: mp for k=mp: m+p t=k(mpl); if t=0 for n=1: Nt Cx
7、(mpl+1, k+1(mp)=Cx(mpl+1, k+1(mp) +x(1, n+t)*x(1, n+t)*x(1, n)*x(1, n)*exp(j*2*pi*b*(n+t/2); end,Cx(mpl+1，k+1(mp)=Cx(mpl+1，k+1(mp)/N; else for n=t+1: N Cx(mpl+1，k+1(mp)=Cx(mpl+1，k+1(m p)+x(1,n+t)*x(1,n+t)*x(1,n)*x(1,n)*exp(j*2*pi*b*(n+t/2); end Cx(mpl+1，k+1(mp)=Cx(mpl+1，k+1(mp)/N; end end end A=zero
8、s(1，2*p+1); for l=p: 1: p A(1，p+1l)=exp(j*pi*b*l); end,D=diag(A); B=Cx*D; A=inv(B*B)*B*Cyx; x=-p: p; y=A; plot(x，y); 其中，自定义功能函数signalSOI完成信号的原始数据的接收，该子程序为 function st=signalSOI(t) BaudRate=4; %1/Tb is baud rate r=rand(1，ceil(t/BaudRate); for i=1: ceil(t/BaudRate),if r(i)=0.5 judge(i)=1; else judge(i
9、)=1; end end for i=1: t/BaudRate for n=1: BaudRate st(BaudRate*(i1)+n)=judge(i); end end 程序运行结果如图10.1所示。,图 10.1 高阶累积量估计曲线,10.1.2 高阶谱 设实随机序列xk的均值为0，k阶平稳，其k阶累积量Ck,x(1，2，k1)存在，则定义xk的k阶谱为,(10.17),式中，=1, 2, , k1T，=1, 2, , k1T。 k阶谱又称为多谱或累量谱，一般情况下为复数，其存在的充分条件之一是k阶累积量满足绝对可积。不难看出，维纳-辛钦定理是k=2时的特例。在高阶谱分析中，k=3时
10、的高阶谱称为双谱(Bispectrum)，其应用非常广泛。,10.2 累积量与双谱的性质 10.2.1 累积量的性质 (1) 若i(1，2，k)为常数，xk为随机变量，则有,(10.18),(2) 累积量对所有变量对称，即,(10.19),式中，(i，j，p)是(1，2，k)的一个排列。,(3) 累积量对变量具有可加性。设x0，y0是两个不同的随机变量，则,(10.20),(4) 如果为常数，则,(10.21),(5) 随机变量xk与yk彼此统计独立，则有 cum(x1+y1,x2+y2,xk+yk)=cum(x1,x2,xk)+cum(y1,y2,yk) (10.22) 利用该性质可以进行高
11、斯背景中的非高斯信号检测。 (6) 如果随机变量xk中的一部分与其他部分统计独立，则有 cum(x1，x2，xk)=0 (10.23) 这说明独立同分布的非高斯随机过程的累积量是一种冲激函数形式。,10.2.2 双谱及其性质 1. 双谱的定义 双谱(Bispectrum)是高阶谱在R=3时的特例，采用符号Bx(1，2)表示，为一个二维复数。,(10.24),双谱是三阶自相关函数Rx(m，n)的二维傅里叶变换。设随机序列x(R)的三阶自相关函数Rx(m，n)为,(10.26),Rx(m，n)=Ex(R)x(R+m)x(R+n) (10.25),则随机序列的双谱Bx(1，2)为,2. 双谱的性质
12、设实平稳随机系列x(k)均值为0，根据随机序列三阶自相关定义可得以下对称关系: Rx(n,m)=Rx(m,n)=Rx(m, nm)=Rx(nm, m) =Rx(n, mn)=Rx(mn，n) (10.27) 因此，三阶自相关函数在(m，n)平面内有六种互换可能，即只要知道m、n平面上第一象限内m0、nm两条直线构成的区域内的值，便可利用对称性质得到全面的值。 根据双谱的定义，可推出如下性质: (1) 双谱为复数，可得其幅度谱和相位谱为 Bx(1,2)=|Bx(1,2)|expjjB(1,2) (10.28),(2) 双谱是以2为周期的双周期函数，即 Bx(1,2)=Bx(1+2, 2+2) (
13、10.29) (3) 双谱具有的对称性质为 Bx(1,2)=Bx(2,1)=B*x(2,1)=B*x(1,2) =Bx(1,2, 2)=Bx(1,12) =Bx(1,2, 1)=Bx(2,1,2) (10.30) (4) 对于持续时间有限的随机序列x(k)，如果其傅里叶变换X()存在，则双谱可由下式确定: Bx(1,2)=X(1)X(2)X*(1+2) =X(1)X(2)X(12) (10.31) (5) 三阶平稳0均值非高斯白噪声序列的功率谱和双谱均为常数。 (6) 高斯过程的双谱恒为0。,10.3 双谱估计 10.3.1 非参数化双谱估计 1. 间接法双谱估计 设观测数据x(1)，x(2)，x(N)为一实随机序列。间接法的核心思想是，由三阶累积量定义估计得到它的三阶自相关函数 ，然后对其进行二维DFT变换得到随机序列的双谱估计。具体算法归纳如下: (1) 有限长观测数据x(k)(k=1，2，N)分成K段，每段数据有M个点，即NKM; 也可以重叠分段，使相邻数据段有一半重叠，即N2KM。,(2) 除去每段数据的均值。 (3) 第i段数据记为xi(k)(k=1，2，M; i=1，2，K)。计算每段数据的三阶累积量:,(10.32),式中，k1=
