自动控制原理 教学课件 ppt 作者 周武能 第7章

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1、-1-,第7章 非线性控制系统分析,非线性系统：非线性控制系统指的是系统中至少含有一个非线性元件的系统。 只有在一定工作范围内，在某些限制条件下，实际控制系统才可以近似为线性定常系统。 非线性系统的动力学方程不象线性系统方程，一般情况下，我们无法得到它的解析解，因此无法彻底了解一个非线性系统的性态 在线性系统分析中的一些重要的数学工具，无法适用于非线性系统。,-2-,7.1 引言,由于不连续非线性特性不能局部地用线性函数逼近，所以又称为“硬”非线性特性：饱和非线性特性、 开关非线性特性、死区非线性特性、间隙和滞后非线性特性 、摩擦特性 .,-3-,线性系统只有一个平衡状态，稳定性即为该平衡状态

2、的稳定性，只取决于系统本身的结构和参数，与外力作用和初始条件无关。 非线性系统可能存在多个平衡状态，初始条件不同，运动的稳定性也不同。,-4-,例7-1 对于一阶非线性系统 , 初值为,近似线性系统,-5-,非线性系统的分析和设计方法,通常有以下五类方法： (1) 等效线性化法：通过泰勒线性化法、谐波线性化法、小参数法或统计线性化法等方法将非线性特性线性化处理后，近似当作线性系统来研究 (2) 相平面或相轨迹分析法：仅限于二阶系统应用的图解分析法 (3) 李雅普诺夫稳定性分析法 (4) 计算机数值计算分析方法 (5) 微分几何方法,-6-,7.3 相平面分析,相平面：用图形来解二阶常微分方程，

3、在二维平面上给出一族系统的运动轨线，使能直观地看到系统的运动形式，该二维平面称为相平面。 不足：只能用于可以用二阶动态系统最好逼近的系统。,-7-,7.3.1 相平面分析基本概念,1相图 二阶时不变系统 该系统的解可以用x(t)和 的关系曲线来表示。以x(t)为横坐标，为 纵坐标构成的坐标平面，称之为相平面。,-8-,7.3.1 相平面分析基本概念,x(t)和 的关系曲线,-9-,2. 奇异点 相平面上的平衡点，即 对于大多数线性系统，奇异点通常只有一个，而非线性系统却通常会有多个孤立的奇异点。 例7-4 非线性二阶系统 系统存在两个奇异点,7.3.1 相平面分析基本概念,-10-,7.3.1

4、 相平面分析基本概念,-11-,7.3.1 相平面分析基本概念,3构造相图 基本思想：先确定相轨迹的等斜率线，绘出相轨迹线的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹线。 当相轨线经过该等斜率线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 。,-12-,7.3.1 相平面分析基本概念,-13-,7.3.2 线性系统的相平面分析,1线性一阶系统的相轨迹 相轨迹方程为 。,-14-,2线性二阶系统的相轨迹 和 为其特征方程的根。,7.3.2 线性系统的相平面分析,解：,-15-,(1) 稳定或不稳定节点 如果特征值均为负，则奇异点称为稳定节点， x(t)和 指数收敛于零。如果特征值均为正，该点

5、称为不稳定节点， x(t)和 由零点指数发散,-16-,(2) 鞍点 异号,-17-,(3) 稳定或不稳定焦点 为非零实部的共轭复数,的实部为负,的实部为正,-18-,(4) 中心点 为零实部,-19-,7.3.3 非线性系统的相平面分析,二阶时不变系统： 令 ， 利用泰勒公式展开，,-20-,极限环,-21-,极限环的存在,定理7-1 (庞加莱/指数定理) 设一个二阶自治系统含有一个极限环，则N=S+1，其中N表示极限环所包围的节点、中心点和焦点的总数，S表示所包围的鞍点数。 推论7-1 一个极限环至少包围一个平衡点。 定理7-2 如果二阶自治系统的一条轨迹驻留在一个有限域内，则下面情况之一

6、必成立： (1) 轨迹趋于一个平衡点； (2) 轨迹趋于一个渐近稳定极限环； (3) 轨迹本身就是一个极限环。,-22-,7.4 李雅普诺夫理论,李雅普诺夫理论包括两种方法：线性化方法与直接方法。 线性化方法根据非线性系统在平衡点附近线性化系统的稳定性来判别自身局部稳定性。 直接化方法不限于局部运动，它通过对系统构造一个“类似能量”的纯量函数，然后考查该函数对时间的变化来判断稳定性。 优点：一般性。它可以用于一切控制系统，不管它们是时变还是时不变的、有穷维的还是无穷维的 局限性：通常很难对一个给定系统找到一个李雅普诺夫函数,-23-,7.4.1 非线性系统与平衡点,定义7-1 非线性系统 中，

7、如果不显含t，即如果系统方程可写作 ,则该系统称为自治的。否则，该系统称为非自治的。 定义7-2 状态 称为系统的一个平衡态(或平衡点)如果一旦 ，则此后状态永远停留在 。,-24-,例7-6 考虑单摆系统，用下列非线性自治方程来描述 R是摆长，M是质量，b为铰链的摩擦系数，g为重力加速度。,令 ，,-25-,得到平衡点满足条件 平衡点为 及,-26-,7.4.2 稳定的概念,定义 (李雅普诺夫稳定性与不稳定性 ) 一个平衡点x=0称为稳定的，如果任给R0，总存在r0，使当 ， 。如果x=0不是稳定的，则称为不稳定平衡点。 定义 (渐近稳定性 ) 平衡点x=0称为渐近稳定的，如果它是稳定，并且

8、存在r0使当 ，,-27-,渐近稳定意味着平衡点0不仅是稳定的，而且从附近0的点出发的轨线当时间趋于无穷时，将收敛于0。,当系统轨线从球Br内出发的轨线均收敛到原点。球Br称为平衡点的一个吸引域。 一个李雅普诺夫稳定而不是渐近稳定的平衡点称为临界平衡点。,-28-,定义 （指数稳定） 平衡点0称为指数稳定的，如果存在两个正数 和 使得 在原点附近的某个球Br内成立。 指数稳定系统的状态向量收敛于原点的速度比某个指数函数快。正数 称为指数收敛率。 指数稳定蕴含渐近稳定，但渐近稳定并不一定保证指数稳定。,-29-,定义 （全局稳定性 ） 如果对任何初值渐近(或指数)稳定成立，则这样的平衡点称为大范

9、围渐近(或指数)稳定，也称为全局渐近(指数)稳定。,-30-,7.4.4 李雅普诺夫直接法,考虑质量阻尼弹簧系统，其动力学方程为 系统的全部机械能是动能和势能之和,-31-,机械能和稳定性概念之间的关系： (1) 能量为0对应于平衡点。 (2) 渐近稳定意味着机械能收敛到0。 (3) 不稳定对应于机械能的增长。,-32-,正定函数与李雅普诺夫函数,定义 一个标量连续函数V(x)称为局部正定的，如果V(0)=0，且在一个球 内 如果V(0)=0且上述性质在整个状态空间成立，则称V(x)为全局正定函数。 几何意义：考虑一个带有两个状态变量和的正定函数V(x)，将其放在三维空间中，V(x)是一个曲面

10、，曲面的最低点为原点。,-33-,等值线描述,-34-,定义7-8 如果在一个球内，函数V(x)是正定的，且有连续偏导数，而且沿着系统(7-11)的任一状态轨线的导数为负半定，即 那么V(x)称为系统(7-11)的李雅普诺夫函数。 几何解释： 的点 总是指向曲面底部。,-35-,平衡点定理,定理7. 5 局部稳定性：如果在一个球 内，存在一个标量函数V(x)，它具有一阶连续偏导数，且 (1) V(x)正定(在球 内) (2) V(x)负半定(在球 内) 那么平衡点0是稳定的，如果导数 在球 内是负定的，那么0是渐近稳定的。,-36-,例7-7 带有粘性阻尼的单摆方程为 考虑标量函数 该函数是由

11、单摆的势能和动能之和构成的能量函数，其为局部正定的。 时间导数为 负半定，因此仅靠李雅普诺夫函数还不能得到系统渐近稳定的结论。,-37-,平衡点定理,定理7.6 全局稳定性：假定存在状态x的标量函数V，具有一阶连续偏导数，且 (1) V(x)正定 (2) V(x)负半定 (3) ，当 那么原点作为平衡点是全局渐近稳定的。,-38-,例7-9 考虑系统 状态空间原点是一个平衡点。设V为正定函数 V沿任一系统轨线的导数为 为负定。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。也表明原点是系统唯一的平衡点。,-39-,7.5 描述函数法,用线性“等价系统”去逼近非线性控制系统的非线性成分，然后用频域法去研究近似系

12、统。 不仅仅限于二阶系统 。 描述函数法主要用于预测非线性系统的极限环。 不足：近似特性，其可能的不准确预测以及使用范围的局限性。,-40-,7.5.1 描述函数的基本概念,设非线性环节输入输出描述为 y=f(x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号 对非线性环节的稳态输出y(t)进行谐波分析。 y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数,-41-,直流分量,第n次谐波分量,-42-,描述函数,若A0=0且当n1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量 定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用N(A)

13、表示：,-43-,应用条件,(1) 非线性系统应简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式 (2) 非线性环节的输入输出特性y(x)应该是x的奇函数，即f(x)=-f(-x)，或正弦输入下的输出为t的奇对称函数，即 ，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即A0=0 。 (3) 系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。,-44-,物理意义,反映非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。 表现为复数增益的放大器。 线性系统的频率特性是输入正弦信号频率的函数，与正弦信号的复杂无关。 描述函数表示的非线性环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值的函数，因而描述

14、函数又表现为关于输入正弦信号幅值的复变增益放大器,-45-,典型非线性特性的描述函数,1 饱和非线性环节 输入 。 如果 ，那么输入保持在线性范围之内，所以输出 ，因此描述函数为常数k。,-46-,考虑Aa的情形。输出函数的一个周期分为4个对称的部分。在第一个四分之一周期内，可以表示为,对于较小的信号，饱和现象没有出现；在饱和现象出现后，由于饱和现象而减小了输出和输入信号的比率；同时，饱和信号不会导致输出响应的滞后。,-47-,2死区非线性特性 在第一个四分之一周期内，有,-48-,7.6 小结,相平面分析法是研究二阶动力系统的图解法，可直观地考查系统的全局性态，清楚地读出系统的多平衡点及极限环。但只适用于二阶系统。 基于李雅普诺夫函数的直接方法原则上可以用于所有的动力系统。但寻找李雅普诺夫函数只能用试探法，依靠经验和直觉。物理性质(如能量守恒)及物理含义可以用于探索李雅普诺夫函数，并可能得到唯一有效的选择。 描述函数方法是线性控制中频率响应方法的扩展，可用于作近似分析和预测一些重要的非线性系统的性态。,