《近世代数基础》团队学习小论文 2015届论文题目：低阶群的结构组 长 朱陈胤 团队成员 朱家彬、章媛、赵慧院 系 数理信息学院 专业班级 数学与应用数学152 指导教师 尹幼齐 完成日期 2016.11.13 低阶群的结构摘 要本文主要利用群的三个基本同构定理，Sylow定理和同余的关系对低阶群的结构进行分析根据低阶群的基本性质可知，阶为素数的群一定是循环群此外，低阶群可推出高阶群的结构，利用素数的幂方和倍数来讨论问题由于群的概念太过宽泛，低阶群的定义较广，故本文只讨论到20阶群的性质，其它低阶群的性质可同理推出关键词：群的基本同构定理；Sylow定理；同余； 目录目录 3引言 12．阶数不超过20的群的个数和种类 23．（p为素数）阶群的结构 23.1 p阶群必为循环群，只有一种类型 23.2 阶群必为交换群，有两种类型： 23.2.1 ︱G︱﹦4 33.2.2 ︱G︱﹦9 33.3 阶非交换群（分p=2和p2），有下列情形： 33.3.1 ︱G︱﹦8 8阶群的结构共5种 44. 2p（p为素数）阶群的结构 54.1︱G︱﹦6 54.2 ︱G︱﹦10 64.4 ︱G︱﹦14 65. 阶为特殊值时群的结构 75.1 1阶群的结构 75.2 12阶群的结构 75.3 15阶群的结构 75.4 16阶群的结构 75.5 18阶群的结构 75.6 20阶群的结构 85.7 21阶群的结构 96 参考文献 9引言群是近世代数的一个重要内容，而其中低阶群的结构就研究群的整体来说有极为重要的意义。
许多抽象群或高阶群均可利用低阶群的结构推导出来在社会不断进步的同时，群也在不断地发展、不断地完善直至现在，还有很多人致力于矩阵的研究本次课题的主要研究内容为归纳、总结群论在实际生活等领域的应用通过本次课外团队学习的研究，使我们对群有了更深一步的了解，如知道了很多有关于群的发展史及其存在方式的多样性研究群让我们的思维变得更加灵活，面对抽象的问题能更好的从容应对，它的神奇足以给我们以学好近世代数莫大的鼓励和支持1 若干定义及定理的准备定义1.1 我们说一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群满足一下条件：（a） G对于乘法来说是闭的（b） 结合律成立，即(ab)c=a(bc)对于G中的任意三个a b c（c） G里至少存在一个左单位元e，使得ea=a对于G的任意元都成立（d） 对于G的每一个元a在G里至少存在一个左逆元，能让定义1.2 若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，并用G=(a)表示，a叫生成元定义1.3 若在G和间对运算o和o’来说存在一个同构映射，我们说对于代数运算o和o’来说G和同构并用符号G≌G’来表示.定理1.4 有限阶群中元的阶是群的阶的因数.定理1.5 群G中阶大于2的元素必成对出现.定理1.6 若群G的阶为s，则群G中阶等于2的元素个数t于s的奇偶性相反，偶数阶群中t0定理1.7 Sylow定理：设G是群且G=且p是素数，p不整除m，则称G的阶子群为G的一个Sylow p-子群，则有以下条件满足1） G有（）阶子群；2） G的每个（）阶子群必包含在G的某个阶子群内，且前者是后者的正规子群；3） G的所有Sylow p-子群恰是G的共轭子群类，且若其个数为K，则|K||G|,K1(modp)定理1.8 群的第一基本同构定理：设A和B是两个群的结构，f是A到B的态射，则A等价关系Φ：a~b当且仅当f(a)=f(b)是A上的一个同余类，并且A/Φ同构于f的像（B的子代数）。
定理1.9 群的第二基本同构定理：设B是A的子代数，Φ是A上的同余类令[B]Φ是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/Φ的一个子集；ΦB是Φ限制在 B x B上的部分那么[B]Φ是A/Φ的子代数结构，ΦB是B上的同余类，并且[B]Φ同构于B/ΦB定理1.10 群的第三基本同构定理：设A是一个代数结构，Φ和Ψ是A上的两个同余关系，Ψ包含于Φ则Φ定义了A/Ψ上的一个同余类Θ：[a]~[b]当且仅当a与b关于 Φ同余（[a]表示a所在的Ψ-等价类），并且A/Φ同构于(A/Ψ)/Θ2．阶数不超过20的群的个数和种类从1到20的阶的不同的群的个数（群的个数按同构意义来分）以下表给出：阶数1234567891011121314151617181920群数1112121522151211415153．（p为素数）阶群的结构3.1 p阶群必为循环群，只有一种类型3.1.1 ︱G︱﹦2G={[0],[1]}3.1.2 ︱G︱﹦3G={[0],[1],[2]}3.1.3 ︱G︱﹦5G={[0],[1],[2],[3],[4]}3.1.4 ︱G︱﹦7G={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]}3.1.5 ︱G︱﹦11G={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10]}3.1.6 ︱G︱﹦13即模13的剩余类加群3.1.7 ︱G︱﹦17即模17的剩余类加群3.1.8 ︱G︱﹦19即模19的剩余类加群 3.2 阶群必为交换群，有两种类型：（1）G=,=e（循环群）；（2）G=,==e=[a,b];，即，G由a和b生成。
G=,(初等交换群)3.2.1 ︱G︱﹦4G的元的阶只能是1，2或4.（1）G1=<[1]>.若G有一个元d阶为4，则G=（d）是一个循环群，且G与G1同构2）S4的子群——klein四元群G2={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}若G没有阶为4的元，则除单位元e外，G的其它3个元的阶都是2，则有G=(e,a,b,c) 则abG，下证，ab=c.若ab=e，则ab=和b=a，这不可能若ab=a，则b=e，也不可能若ab=不，则a=e，也不可能那么，可能的只有ab=c同理可证ab=ba=c，bc=cb=a，ca=ac=b 比较G和G2的代数运算，易见G和G2同构3.2.2 ︱G︱﹦9（1）同构于9阶循环群，即模9的剩余类加群由a=[1]生产2）同构于置换群{（1），（123），（132），（456），（465），（123）（456），（123）（465），（132）（456），（132）（465）}证明同四阶群3.3 阶非交换群（分p=2和p2），有下列情形：p=2时，有两种类型：（1） G=,(两面体群)；（2） G=,(四元数群)。
p2时，有两种类型：（1） G=,；（2） G=,3.3.1 ︱G︱﹦8 8阶群的结构共5种① G中有8阶元素，则G和同构② G中没有8阶元素，则含有2阶和4阶元素又因为在一个有限群中阶为2的元素必为奇数，所以二阶元的个数只能是1各或者3个1） 二阶元的个数为1时，必存在1个四阶元则设a=（1234），b=（56），此时为交换群，则有，分别带入计算则可得其值2） 二阶元的个数为3时，有一个交换群和一个非交换群（1） 为交换群时，令a=（12），b=（34），c=（56），则有，带入计算即得值2） 为非交换群时，即四元数群,,③ 同构与正方形所代表的二面体群正方形ABCD的对称群即二面体群的元素为8个，从几何的角度可以表示为4个旋转，4个反射若将顶点A,B,C,D依次编号为1,2,3,4则的8个元素的可以用置换表示沿中心旋转2π,;沿中心逆时针旋转90°，沿中心逆时针旋转180°，;沿中心逆时针旋转270°，沿AD对称轴反射，；沿AC对称轴反射，沿AB对称轴反射，；沿BD对称轴反射，综上所述，八阶群的结构共以下五种 （1）同构于8阶循环群即模8的剩余类加群； （2）同构于正方形所代表的二面体群；（3） 同构于四元数群：G=,a4=1,a2=b2,b-1ab=a3（4） 同构于置换群{（1），（1234），（13）（24），（1432），（56），（1234）（56），（13）（24）（56），（1432）（56）}；（5） 同构于置换群{（1），（12），（34），（56），（12）（34），（12）（56），（34）（56），（12）（34）（56）}。
其中（1）、（4）、（5）为交换群，（2）、（3）为非交换群4. 2p（p为素数）阶群的结构 设群G的阶为2p，由sylow定理知，存在p阶元a和2阶元b，则G=,且G.设，则有（1）时，，所以G=,(循环群)；（2）时，当取p=3、5、7时就得到6、10、14阶群的结构4.1︱G︱﹦6（1） G为6阶循环群（2） c为2阶，a为3阶G为3次对称群S3，是最小的非交换群，起运算表如下：eaa2ccaca2eeaa2ccaca2aaa2eca2ccaa2a2eacaca2ccccaca2eaa2cacaca2ca2eaca2ca2ccaaa2e4.2 ︱G︱﹦10在10元群中有一种群是循环群，即G1={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]}另外一种为与{（25）（34），（12345）}同构的群; G2={(1),(25)(34),(12345),(12)(35),(13)(45),(14)(23),(15)(24),(13524)(14253),(15432)}G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，那么10元群除与这两种同构的群外，是否还有其他群存在呢？下面我们用群的性质来研究，10 元群的阶只能是1,2,5,10，可以证明当10元群中有一个10阶元时它必为循环群G,G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，从元上考虑，若还有10元群存在，则满足如下条件；a)有唯一的单位元b)阶为2的元的个数为奇数c)阶大于2的元的个数为偶数，从此考虑其他10元群存在有如下4种情况（1）G1={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}e=(ai)2(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9)即G1是由单位元和9个2阶元。
由2.5知2阶元是可以交换的，不妨令ab=ba=c(显然ab=e,ab=b,ab=a都不可能)由此可得ac=ca,bc=cb=a那么令G={e,a,b,c}是4元群，它是G1一个子群，这与拉格朗日定理矛盾故G1不构成群2）G2={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}e=a12=aj5=e(j=2,3,4,5,6,7,8,9)即是G2由单位。