天津市七校2019届高三上学期期中联考数学（理）试卷 含答案解析

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1、1 天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等） 20192019 届高三上学期期中联考数学（理）试题届高三上学期期中联考数学（理）试题 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 4040 分）分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据交集的定义即可求出结果. 【详解】集合，则，故选 D. 【点睛】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题 2.已知命题 ：“” ，则

2、命题 的否定为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得 命题 ：“”的否定为，故选 C 【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想， 属于基础题 3.设，则“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 2 【分析】 运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得 到结论 【详解

3、】， ， 则， 可得“”是“”的充分不必要条件，故选 A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解 题的关键，属于基础题 4.把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一条对称轴可以是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结 论 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 令，解得， 故的图象的对称轴方程是，结合所给的选项，故选 B 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，在平移过程中（1）

4、要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致， 若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平 移的单位数应为，而不是 5.函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由可得或，要求函数的单调递增区间，只要求解在定义域 上的单调递增区间即可 【详解】由可得或 在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是， 故选 D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，与对数函数相结合时需注意函数的定义域，求复合函数 的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将

5、复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确 定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间. 6.已知函数，记，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，分析可得为偶函数且在上为增函数，由对数函数及指数函数的性质比较可得 ，结合函数的单调性分析可得答案 【详解】函数，其定义域为 ，且，则为偶函数， 当时，则函数在上单调递增， ， ，则 即，则，故选 B. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，指数、对数幂的大小比较，关键是分析函数的奇 偶性与单调性，属于中档题. 7.对实数，定义运算“”：设函数. 实数互不相等

6、， 4 且，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由新定义写出分段函数，由题意作函数的图象，由二次函数的对称轴得，由此利用函数的图象可求 的范围. 【详解】由，得， 作函数的图象如下图： 互不相等，且，可设， ， 由图象得，且，故选 B 【点睛】本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力， 属于中档题 8.已知在平面四边形中， ，,，点 为边上的动点， 则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 以 为原点，以所在的直线为 轴，以所在的直线为 轴，求出 ， ， 的坐标，根据向量的数量积和二 5

7、 次函数的性质即可求出 【详解】如图所示，以 为原点，以所在的直线为 轴，以所在的直线为 轴， 过点 作轴，过点 作轴， ， ， ， ， 设， ， 当时，取得最小值为 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值 的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于 中档题 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.已知，则_. 【答

8、案】 【解析】 【分析】 6 原式分母看做“ ” ，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值 【详解】， 原式，故答案为 . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题. 10.已知函数若在 上是增函数，则实数的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数在 上单调递增，得出函数在各分段单调递增，列出不等式组，即可得到实数的取值范围. 【详解】函数若在 上是增函数， 可得，解得，即实数的取值范围是，故答案为. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，不等式组的求法，注意在临界位置函数值的大小，属于基础 题 11.在中

9、， 为边延长线上一点且不与 重合，若，则实数的取值范围是 _. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，由 是延长线上一点，根据向量的线性运算可得，结合向量共线定理得到. 【详解】 又，由题意得， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量共线定理的应用，属于基础题. 12.在平面四边形中，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 结合图形在中，利用正弦定理先求出，在中利用余弦定理求出结果 7 【详解】如图所示： 四边形中， 在中，利用正弦定理：， 解得：，则：， 在中，利用余弦定理：， 解得，故答案为. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的

10、运算能力和转化能力，属于 中档题 13.已知定义在 上的函数在上是减函数，且是偶函数，则关于 的不等式 的解集为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得函数关于直线对称，进而可得在上为增函数，据此可得 ，变形可得，解可得 的取值范围，即可得答案 【详解】根据题意，是偶函数，则函数关于直线对称， 又由函数在上是减函数，则其在上为增函数， ， 变形可得：，即， 解可得：，即不等式的解集为，故答案为. 【点睛】本题主要考查关于抽象函数的不等式问题，一元二次不等式的解法，涉及抽象函数的奇偶性与单调 性的性质，充分利用数形结合思想将题意等价转化为是解题的关键，属于基础题 14.已知函数，若在区间内

11、没有零点，则 的取值范围 8 是_. 【答案】 【解析】 【分析】 化简变形，根据三角函数的性质求出的零点，根据条件得出区间内不存在整数，再根据 可得为或的子集，从而得出 的范围 【详解】 令，可得， 令，解得， 函数在区间内没有零点，区间内不存在整数 又， 又，或 或，解得或 的取值范围是，故答案为 【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数，正弦函数的性质，函数零点的计算，解题的关键是将 题意转化为集合间的关系，得到不等关系，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明

12、过程或演算步骤. . 15.已知函数 . （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】 （1） ； （2）. 【解析】 【分析】 （1）将降幂公式后与辅助角公式化简可得，由周期公式求周期；（2）求出函数在区间上 的单调性，再结合端点处的函数值得答案 【详解】 （1） 9 , 的最小正周期为 . （2）在区间上是增函数，在区间上是减函数. 又, 的最小值为，最大值为 . 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，考查型函数的图象和性质之周期与最值， 属于中档题 16.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数只有一个零点，求的取值范围. 【答案】

13、（1）； （2）或. 【解析】 【分析】 （1）求出的导数，可得切线的斜率和切点，可得所求切线方程；（2）根据导数与 0 的关系得到函数的单 调性和极值，有极大值，极小值，由数形结合可得的取值范围. 【详解】 （1）当时， ， 切线方程为，即. （2），令，解得 随 的变化，的变化如下表 0 +0-0+ 极大值 极小值 当时，有极大值 当时，有极小值, 10 函数只有一个零点, 或， 即 或. 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中 档题；求切线方程的步骤：第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求 出直线方程

14、，属于基础题. 17.在平面直角坐标系中，已知向量. （1）若，求 的值； （2）若与 的夹角为 ，求的值. 【答案】 （1）； （2） . 【解析】 【分析】 （1）根据可得，结合 的取值范围可得 的值；（2）根据和 的夹角可求出 ，结合两角和的余弦公式即可得最后结果. 【详解】 （1）， , 又 ， . （2）, ， = . 【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及向量数量积的计算公式，两角和 的余弦公式，属于中档题. 18.已知分别为内角所对的边，且. 11 （1）求 ； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】 （1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）

15、由正弦定理化简已知等式将边化为角，结合，可求，由可得 的值；（2）由题 意根据三角形面积公式可求，根据余弦定理即可求得的值 【详解】 （1）由正弦定理得， 又 ，又， . （2）由题意，解得, 由余弦定理得， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力 和转化思想，属于基础题 19.已知函数，为自然对数的底数. （1）讨论的单调性； （2）若存在使得成立，求的取值范围. 【答案】 （1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，对讨论，分为和两种情形，通过导数与 0 的关系可判断单调区间；（2）将题意 转化为 ,，设，求得即为所求的的范围 【详解】 （1）的定义域为，且， 当时，在上是减函数， 12 当时，时，时， 在上是减函数，在上是增函数. （2）由题意，即 ,， 设， 当时，当时， 在上为增函数，在上为减函数， ， ， 【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，正确分离参数是关键，也是常用 的一种手段通过分离参数可转化为或能成立，即或即可，利用导数知识 结合单调性求出或即得解，属于中档题 20.已知函数 的极小