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1、3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,复习：,在空间中，能得出类似的结论:,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,一、空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,注：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：,（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是
2、相关连的不同概念。,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。,这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.,二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标,x,y,z,O,A(x,y,z),e1,e2,e3,空间向量的直角坐标：,给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z
3、叫做点A的竖坐标.,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.,空间向量基本定理的考查,例1,空间向量运算 的坐标表示, 则,设,一、向量的直角坐标运算,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,二、距离与夹角的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例1 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,
