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1、必备四二级结论巧用结论一函数的奇偶性1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.跟踪集训1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为.2.已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是.3.设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(2)=0,则不等式f(x)-f(-
2、x)x0(0,xD有解.(5)存在x1,x2D,x1x2,f(x1)=f(x2)y=f(x),xD不单调.2.函数的单调性与极值:(1)函数f(x)有三个单调区间f(x)有两个极值点f(x)=0有两个不等根;(2)函数f(x)在a,b上不单调f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0(a,b).3.函数的最值:函数f(x)在D上的最大值为Mx0D, f(x0)=M,f(x)M,xD恒成立.函数f(x)在D上的最小值为mx0D, f(x0)=m,f(x)m,xD恒成立.跟踪集训4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,nR)是R上的单调增函数,则m的值为.5.已知函数
3、f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x-3,3的最大值是0,则实数a的取值范围是.6.已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2R,均满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则实数m的取值范围是.7.已知函数f(x)=-x2+ax(x1),2ax-5(x1),若存在x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是.结论三抽象函数的周期性与单调性1.函数的周期性(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,2a
4、是它的一个周期.(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.(4)f(x+a)f(x)=k(a0)、f(x+a)+f(x)=k(a0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.2.函数图象的对称性(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+b
5、2对称.(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点a+b2,c2对称.跟踪集训8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=.9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=.10.函数f(x)对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.结论四函数零点1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号
6、;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.跟踪集训11.已知函数f(x)=22-x,x2,log3(x+1),x2,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x-32x-m在-1,1上有零点,则实数m的取值范围是.13.已知函数f(x)=ex,xBsinAsinB,cosAcosB,sinAcosC,a2+b2c2,
7、b2+c2a2,c2+a2b2.跟踪集训17.在斜ABC中,若tanAtanBtanC=123,则cosA=.18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.(1)求B的大小;(2)求cosA+sinC的取值范围.结论七不等式1.2aba+baba+b2a2+b22(a,b0).2.(1)xyx2+y22;(2)xyx+y22;(3)当x0时,x+1x2;(4)当x,y同号时,xy+yx2;当x,y异号时,xy+yx-2.3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为af
8、(x),xD恒成立,则af(x)min,xD;若是af(x),xD有解,则a0,xD恒成立,即为f(x)min0,xD.跟踪集训19.若在区间1,3内,存在实数满足不等式2x2+mx-10,b0,且2a+b=1,则S=2ab-(4a2+b2)的最大值是.结论八平面向量1.三点共线的判定A,B,C三点共线AB,AC共线;向量PA,PB,PC中,A,B,C三点共线存在实数,使得PA=PB+PC,且+=1.2.三角形“四心”的向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O为ABC的外心|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA=b2sinB=c2si
9、nC.(2)O为ABC的重心OA+OB+OC=0.(3)O为ABC的垂心OAOB=OBOC=OCOA.(4)O为ABC的内心aOA+bOB+cOC=0.3.向量中线定理:ABC中,点D为BC的中点,则AB+AC=2AD.4.|a|-|b|a-b|a|+|b|,注意等号成立的条件.5.若a,b都是非零向量,则aba=bx1y2=x2y1夹角等于0或180|ab|=|a|b|.6.若a,b都是非零向量,则abab=0x1x2+y1y2=0夹角等于90|a+b|=|a-b|.7.数量积的其他结论:当a与b同向共线时,ab=|a|b|;当a与b反向共线时,ab=-|a|b|;当a与b共线时,|ab|=
10、|a|b|;当a与b为任意向量时,|ab|=|a|b|cos|a|b|(为a与b的夹角);a与b的夹角为锐角的充要条件是ab=x1x2+y1y20,x1y2-x2y10.a与b的夹角为钝角的充要条件是ab=x1x2+y1y20,x1y2-x2y10.跟踪集训23.已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为.24.P是ABC所在平面内一点,若PAPB=PBPC=PCPA,则P是ABC的.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)25.已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1
11、+2)OC,R,则点P的轨迹一定经过ABC的.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)结论九等差数列1.在等差数列an中,ap=q,aq=p(pq)ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.2.若Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.3.若等差数列an的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,S奇S偶=amam+1.4.若等差数列an的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,S奇S偶=mm-1.跟踪集训26.等差数列an
