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1、2018-2019 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学 试卷试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1.已知集合2，3，那么 = 1,3 = 2,6 = () A. B. C. 2，D. 2，3， 1,62,31,31,6 【答案】B 【解析】解：2，3，； = 1,3 = 2,6 = 2,3 故选：B 进行交集的运算即可 考查列举法的定义，以及交集的运算 2.已知角 的终边经过点，则 (3, 4) = () A. B. C. D. 3 4 4 3 4 3 3 4 【答案】B 【解析】解：已知角 的终
2、边经过点， (3, 4) ，则 = 3 = 4 ， = = 4 3 = 4 3 故选：B 根据角 的终边经过点，可得，再根据计算求得结果 (3, 4) = 3 = 4 = 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 3.在中，点 D 为边 AB 的中点，则向量 = ( ) A. B. C. D. 1 2 + 1 2 1 2 1 2 1 2 + 1 2 1 2 1 2 【答案】A 【解析】解：如图， 点 D 为边 AB 的中点； ； 2 = + 第 2 页，共 11 页 = 1 2 + 1 2 故选：A 根据向量加法的平行四边形法则即可得出，从而得出 2 = + = 1 2 + 1 2 考查
3、向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算 4.设，则 a，b，c 的大小关系为 = 25, = (1 2) 5, = 5 1 2() A. B. C. D. 24 = 2 ， 0 0, 0,| ) 的解析式为 = ()() A. = 3 2(2 + 6) B. = 3 2(2 6) C. = 3 2(2 + 3) D. = 3 2(2 3) 【答案】D 【解析】解：， 1 2 = 2 3 6 = 2 ； = 2 = 2 又由图象可得：，可得：， = 3 2 () = 3 2(2 + ) ， ( 2 3 + 6 2 ) = 3 2(2 5 12 + ) = 3 2 ， 5 6
4、 + = + 2 ， = 3( ) 又， | 当时，可得：，此时，可得： = 0 = 3 () = 3 2(2 3). 故选：D 由的部分图象可求得 A，T，从而可得 ，再由，结合 的范围可求得 ，从而可得 = ( + ) ( 2 3 + 6 2 ) = 3 2 答案 本题考查由的部分图象确定函数解析式，求得 的值是难点，属于中档题 = ( + ) 7.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则 ()()2 + 1= () + ()(1) = () A. B. 2C. D. 4 3 2 5 2 【答案】C 【解析】解：函数为奇函数，为偶函数，且， ()()2 + 1= () + () ， (1) +
5、(1) = 21 + 1= 4 ， ( 1) + ( 1) = 2 1 + 1 = 20= 1 即 (1) + (1) = 1 由得， + 2(1) = 5 第 4 页，共 11 页 则， (1) = 5 2 故选：C 根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键 8.已知函数，则的最大值为 () = 1 + + 3 3 = ()() A. B. C. D. 2 + 362 22 【答案】C 【解析】解：， = 22 2 1 = 1 22 2 1 ， () = 1 + + 3 3 = 2| 2| + 6| 2| | 2
6、2 + 6 2| = 2 2|( 2 + 6)| 当时，有最大值，最大值为， |( 2 + 6)| = 1 2 2 故选：C 根据二倍角公式和两角和正弦公式和正弦函数的性质即可求出 本题考查了函数的最值问题，考查了三角函数的化简和计算，属于中档题 9.已知向量满足，则的最小值是 , | | = 1,| | 2 | |() A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】D 【解析】 解：不妨设如图所示的直角坐标系， ， = (1,0) = (,) ， = 因为， | | 2 所以或， 2 2 即 所对应的点 B 在直线的左边区域 含边界 或在直线的右边区域 含边界 ， = 2() = 2() 又的结
7、合意义为 与 所对应的点 A 与 B 的距离， | | 由图知：当时，最短，且为 1， (2,0)| 故的最小值是 1， | | 故选：D 由平面向量的坐标运算得： 所对应的点 B 在直线的左边区域 含边界 或在直线的右边区域 含边界 ， = 2() = 2() 由向量模的几何意义得：的结合意义为 与 所对应的点 A 与 B 的距离，作图观察可得解 | | 本题考查了平面向量的坐标运算及向量模的几何意义，属中档题 10. 若函数在区间和上均为增函数，则实数 a 的取值范围是 () = | + | + 33, + )( , 1() A. B. C. D. 3,1 6,1 3,2 6,2 【答案】
8、D 【解析】解：根据题意，函数， () = | + | + 3 = 2+ + 3, 0 2 + 3, 0 函数转化为的最小值为与 t 无关的常数， () = | | + 0 当时，函数在单调递增，无最小值， 0 () = + (0, + ) 当时，时，函数在单调递减， 0 () = + + (0, ()= + + 1 = 1 当时， () = + ， () = 1 2 = 2 2 令，解得， () = 0 = 若，即时， () 0 () 0() ， ()= ( ) = + = 2 要使函数的最小值为与 t 无关的常数， = () ，即 2 1( 1)2 0 解得， = 1 若，即时，在单调递递
9、增， () 1()(, + ) ， ()= + + 1 = 1 综上所述：t 的范围是1, + ) 先利用换元法，转化为函数转化为，当，的最小值为与 t 无关的常数，对 t 进行分类讨 0 () = | | + 论，根据函数的单调性即可求出 t 的范围 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题 三、解答题（本大题共 4 小题，共 52.0 分） 18. 已知函数； () = ( + )2+ 22 求的值； (1) ( 4) 求函数的周期及单调递增区间； (2) = () 【答案】解：， () = ( + )2+ 22 ， () = 1 + 2 + 2
10、2 = 1 + 2 + 1 2 = 2 + 2(2 4) ； (1)( 4) = 2 + 2 4 = 3 函数的周期， (2)() = 2 2 = 由， 2 + 2 2 4 2 + 2( ) 可得 8 + 3 8 + , 函数的周期，单调递增区间为 () = 8 + ,3 8 + , 【解析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为，由此求得的值； (1)() () = 2 + 2(2 4) ( 4) 代入周期公式即可求出函数的最小正周期，利用正弦函数的单调性解关于 x 的不等式，即可得到的单调 (2)() 递增区间 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性以及单调性的求法，属于中档题 19. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，向量 = (1,2), = ( 2,1) 若 C 是 AB 所在直线上一点，且，求 C 的坐标 (1) 若，当，求 的值 (2) = ( + ) ( + ) = 10 【答案】解：， (1) = (1,2), = ( 2,1) = = ( 3, 1) 因为 C 是 AB 所在直线上一点， 设，可得， = (1 3,2 ) 又因为， 所以，
