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1、福建师大附中福建师大附中 2018-20192018-2019 学年上学期期末考试学年上学期期末考试 高二（文科）数学试卷高二（文科）数学试卷 第第卷卷 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1.对于常数 、 ， “”是“方程的曲线是椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：由方程的曲线是椭圆可得，所以“”是“方程的曲 线是椭圆”的必要不充分条件 考点：椭圆方程及充分条件必要条件 2.已知椭圆的长轴长为 6，短轴长
2、为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆长轴长为 6 求得 ，短轴长为求得 ，从而求得 ，问题得解。 【详解】因为椭圆的长轴长为 6，短轴长为， 所以，解得：，所以， 所以该椭圆的离心率为， 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，属于基础题。 3.命题“若 a2，则 a1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 试题分析：根据四种命题真假之间的关系进行判断即可 解：若 a2，则 a1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题， 逆命题为：若 a
3、1，则 a2，为假命题 ，当 a=1.5 时，满足 a1，但 a2 不成立， 则否命题为假命题， 故真命题的个数为 2 个， 故选：B 考点：四种命题的真假关系 4.双曲线C：的离心率e，则它的渐近线方程为（ ） A. yx B. yx C. yx D. yx 【答案】B 【解析】 试题分析:因,故可设，则，故，其渐近线方程为. ，即，应选 B. 考点：双曲线的几何性质与渐近线的方程等知识的综合运用. 5.若曲线 f（x）=x3+x2 在点 P0处的切线垂直于直线 x+4y+3=0，则点 P0的坐标为（ ） A. （1，0） B. （2，8） C. （2，8）或（1，4） D. （1，0）或（
4、1，4） 【答案】D 【解析】 【分析】 设，由曲线 f（x）=x3+x2 在点 P0处的切线垂直于直线 x+4y+3=0 列方程，解方程组即可。 【详解】设，由题可得：， 由曲线 f（x）=x3+x2 在点 P0处的切线垂直于直线 x+4y+3=0 可得： ，即：，解得：或， 所以点 P0的坐标为（1，0）或（1，4） 故选：D 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及互相垂直的两直线斜率关系，考查方程思想，属于基础题。 6.某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 3 号、29 号、 42 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（ ）
5、A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 由题计算出抽样的间距为 13，由此得解。 【详解】由题可得，系统抽样的间距为 13， 则在样本中。 故选：D 【点睛】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题。 7.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的 数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，求得基本事件的总数为种，再利用列举法，求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的 数包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式
6、，即可求解. 【详解】从分别写有的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件的总数为种， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： ，共有个基本事件， 所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中对于古典概型中基本事件数的探求常见方法： (1)列举法；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无 序”区别的题目，常采用树状图法；(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的 题目简单化、抽象的题目具体化. 8.已知抛物线的焦点
7、为 ，过 的直线 交抛物线于两点，若，则线段的中点到 轴的距离 为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线构造一个直角梯形，如图： 利用梯形的中位线求得线段的中点到抛物线的准线距离为 ，从而求得该点到 轴的距离。 【详解】 ，设线段的中点为 M，作出抛物线的图像，其准线为 CD：，过 的直线 交抛物线于 两点，过 A 作准线的垂线段 AC，过点 B 作准线的垂线段 BD，再过点 M 作准线的垂线段 MN，如下图： 由抛物线的定义得：AF=AC,BF=BD，由题可得：MN= 所以线段的中点到 轴的距离为 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及转化思想，
8、考查梯形的中位线知识，属于基础题题。 9.若椭圆b2x2+a2y2a2b2（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若ABF90，则椭圆的 离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化椭圆方程为标准方程，根据可知，转化求解椭圆的离心率即可 【详解】解：由，得， 设由题意可得：， ， （负值舍去） 故选： 【点睛】本题考查了利用椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形等知识 求解离心率，是基础题 10.已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对 的正负分类，利用导数求得函数的单调性，从而判断选项即可。 【详解】当时，
9、 ， 当时， 当时， 所以在上递减，在上递增，排除 C、D。 当时， ，恒成立， 所以在上递增，排除 B， 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，还考查了转化思想，属于基础题。 11.已知函数的图像过点，为函数的导函数， 为自然对数的底数，若， 恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：构造函数，不等式的解集即为的解集 ，因为，恒成立，所以，即单调 递增，又因为，所以当时，即，故选 B 考点：1、不等式与函数；2、函数求导 【思路点睛】本题的亮点在于对不等式进行巧妙地变形，转化为函数值的正负 问题，判断值的正负只需要知道函数单调
10、性及零点即可而函数的导函数可以根 据题目中的条件判断正负，从而得知的单调性，再根据条件得出的零点，从而就可以轻易的求 出的解集 12.已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点，Q 为圆 x2+（y4）2=1 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知 到准线的距离等于 点 到焦点的距离，进而问题转化为求点 到点 的距离与点 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象 可知当三点共线时 到点 的距离与点 到抛物线的焦点
11、距离之和的最小，为圆心到焦点 的距离减去圆 的半径. 【详解】抛物线的焦点为， 圆的圆心为，半径， 根据抛物线的定义可知点 到准线的距离等于点 到焦点的距离， 进而推断当三点共线时， 到点 的距离与点 到抛物线的焦点距离之和的最小值为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于中档题. 与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到 准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点 的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂
12、线段最短”原理解决. 第第卷卷 二、填空题二、填空题. . 13.抛物线 y=的准线方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可。 【详解】由得：，所以，即： 所以抛物线的准线方程为：。 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题。 14.曲线在点（1，2）处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 设，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率， 其求法为：设是曲线上的一点，则以 为切点的切线方程 是若曲线在点处的切线平行于 轴（即导数不存在）时， 由切线定义知，切线
13、方程为 15.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点且|MF|=3，则OMF 的面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设，由抛物线的方程求得，再由抛物线定义列方程求得，从而求得，利用三角形 面积公式求解即可。 【详解】设，由抛物线方程 y2=4x 得：，所以 由抛物线的定义得：|MF|=，解得：，又 解得：， 所以OMF 的面积为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及方程思想、三角形面积计算，属于基础题。 16.已知函数 f（x）=x（xc）2在 x=2 处有极小值，则实数 c 的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 求出，由函数 f（x）=x（xc）2
14、在 x=2 处有极小值列方程，解得或，验证当时， ，不满足 函数 f（x）=x（x6）2在 x=2 处有极小值，问题得解。 【详解】由题可得： 因为函数 f（x）=x（xc）2在 x=2 处有极小值， 所以，解得：或， 当时，恒成立， 不满足 函数 f（x）=x（x6）2在 x=2 处有极小值，故舍去。 所以. 【点睛】本题主要考查了极值的概念及方程思想，考查计算能力，属于基础题。 17.已知动点 P（x，y）在椭圆 C：上，F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M 满足|MF|=1且 MPMF，则 线段|PM|的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据椭圆的图形，判断出 PF 最小值时的位置
15、；结合切线长定理求线段|PM|的最小值。 【详解】由题意可知，动点 M 是在以 F（3，0）为圆心，1 为半径的圆上运动，且|PM|为圆的一条切线 根据切线长定理，当|PF|最小时，切线长|PM|取得最小值 易知当 P 在右顶点时，PF 取得最小值，此时|PF|=5-3=2 由切线长定理可知 【点睛】本题考查了椭圆的基本性质和切线长定理的简单应用，属于基础题。 18.若函数恒有两个零点，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 由题意可得=0 有两个实数根，分离参数得，令 ，所以 f(x)在递增，递减， ，填。 【点睛】 对于函数零点问题，可以转化为方程根问题，特别是参数容易分离时，转化为的
16、零问题，但是要注 意图像是否有渐近线问题。 三、解答题三、解答题. . 19.已知函数 f（x）=+cx+d 的图象过点（0，3） ，且在（，1）和（3，+）上为增函数，在 （1，3）上为减函数 （1）求 f（x）的解析式； （2）求 f（x）在 R 上的极值 【答案】（1）;（2） , . 【解析】 试题分析：（1）第(1)问，一般根据已知条件得到的方程组，解方程即可. (2)第（2）问，按照求极值 的步骤解答即可. 试题解析：（1）的图象过点（0,3） ， ， 又由已知得是的两个根， （2）由已知可得是的极大值点， 是的极小值点 20.从某保险公司的推销员中随机抽取 50 名，统计这些推销员某月的月销售额（单位：千元） ，由统计结果 得如图频数分别表：
