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1、江苏省泰州市江苏省泰州市 2018-2019 学年度第一学期期末考试高二学年度第一学期期末考试高二 数学（理科）试题（解析版）数学（理科）试题（解析版） 一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1.命题：“若，则”的逆否命题是_ = 0 = 0 【答案】若，则 0 0 【解析】解：“若，则” = 0 = 0 逆否命题：若，则 0 0 故答案为：若，则 0 0 根据命题的逆否命题书写即可 本题简单的考查了四个命题的概念，准确书写即可 2.已知复数是虚数单位 ，则_ = 2 ()| = 【答案】 5 【解析】解：复数， = 2 | = 22+ ( 1)2= 4 + 1 = 5 故答案
2、为： 5 根据复数模长的定义直接进行计算即可 本题主要考查复数的长度的计算，比较基础 3.已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是_ 2 25 + 2 16 = 1 【答案】， ( 3,0)(3,0) 【解析】解：椭圆， 2 25 + 2 16 = 1 2= 252= 16 椭圆的焦点坐标是， 2= 2 2= 9 = 3 ( 3,0)(3,0) 故答案为：， ( 3,0)(3,0) 根据椭圆的标准方程，利用，即可求得椭圆的焦点坐标 2= 2 2 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，运用是关键 2= 2 2 4.“”是“”成立的_条件 在“充分不必要”， ( + 2)( 1) 0, 0) 10 【答案】3 【
3、解析】解：双曲线 C：的离心率为， 2 2 2 2 = 1( 0, 0) 10 可得，可得，可得 = = 10 2+ 2= 102 = 3 故答案为：3 利用双曲线方程，通过离心率转化求解 的值即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 7.直线 l 过点，且与曲线相切于点，若，则实数 a 的值是 (0,1) = ()(,3) _ 【答案】2 【解析】解：直线 l 经过点，且与曲线相切于点若， (0,1) = ()(,3).() = 1 切线的斜率为 1，切线方程为：， 1 = 所以，解得 3 1 = = 2 故答案为：2 利用已知条件求出切线方程，然后求解 a 的值即可
4、本题考查曲线的切线方程的求法，切点在切线上也在曲线上，考查计算能力 8.在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用且来证明：类比到集合中： 要证明集合 A，B 相等，可以利用_来证明 【答案】且 【解析】解：在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用且来证明：类比 到集合中：要证明集合 A，B 相等，可以利用且来证明 故答案为：且 由实数的不等关系类比到集合的包含关系即可 本题考查了类比推理，实数的不等关系类比到集合的包含关系，属简单题 9.函数的定义域为 R，若对任意的， 0/，且，则 () (2) = 1 2 不等式的解集为_ (2+ 1)(2+ 1) 1 【答案】( , 1) (1,
5、 + ) 【解析】解：令，则 0/， () = () 可得在上为增函数， ()( , + ) 由，得， (2) = 1 2(2) = 2(2) = 1 不等式化为， (2+ 1)(2+ 1) 1(2+ 1) (2) 又在上为增函数， ()( , + ) ，得或 2+ 1 2 1 不等式的解集为 (2+ 1)(2+ 1) 1( , 1) (1, + ) 故答案为： ( , 1) (1, + ) 构造函数，求导后由已知可知函数为增函数，把原不等式转化为 () = () 求解 (2+ 1) (2) 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题 10. 古埃及发现如下有趣等式：， ，按此
6、 2 3 = 1 2 + 1 6 2 5 = 1 3 + 1 15 2 7 = 1 4 + 1 28 2 9 = 1 5 + 1 45 规律，_ 2 2 + 1 = ( ). 【答案】， 1 + 1 + 1 ( + 1)(2 + 1) 【解析】解：由， ，可归纳出： 2 3 = 1 2 + 1 6 2 5 = 1 3 + 1 15 2 7 = 1 4 + 1 28 2 9 = 1 5 + 1 45 ， 2 2 + 1 = 1 + 1 + 1 ( + 1)(2 + 1) 故答案为：， 1 + 1 + 1 ( + 1)(2 + 1) 先观察再通过计算可归纳推理出答案 本题考查了观察能力及归纳推理能
7、力，属简单题 11. 若定义在 R 上的函数有三个不同的单调递增区间，则实数 m () = |3 32+ | 的取值范围是_ 第 4 页，共 11 页 【答案】(0,4) 【解析】解：令，由可得，或 () = 3 32+ () = 32 6 = 0 = 0 = 2 在，递增，在递减 ()( ,0)(2, + )(0,2) 要使函数有三个不同的单调递增区间，则的图象只能如下图 () = |3 32+ |() 所示， (0) = 0 (2) = 4 0(2) 0) (2,0) = 2 Q 在椭圆 C 上，则_ = 【答案】2 【解析】解：设， (,) 由 F 关于直线的对称点 Q 在椭圆 C 上，
8、 = 2 ， 2 2 = 1 0 + 2 = 2 (2 + 2 ) 解得， = 8 22 4 + 2 = 8 4 + 2 点 Q 在椭圆上，且， 2= 4 + 2 ， (8 22)2 (4 + 2)3 + 64 (4 + )2 = 1 整理可得， 2(2+ 4)2= 256 ， (2+ 4) = 16 解得， = 2 故答案为：2 设出 Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，即可求出 b 的值 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力，属于中档题 14. 若函数在上的最大值为 8，则实数 a 的值为_ = + 7 22 (, + ) 【答案】 80
9、27 【解析】解：函数在上的最大值为 8， = + 7 22 (, + ) 函数，在上恒成立 = + 7 22 8 (, + ) 化为：， (23 72+ 8) (, + ) 令， () = 23 72+ 8 (, + ) 则， () = 62 14 + 8 = 2(3 4)( 1) 第 6 页，共 11 页 可得时，函数取得极小值即最小值， = 4 3() (4 3) = 80 27 实数 a 的值为 80 27 故答案为： 80 27 函数在上的最大值为 8，可得函数，在 = + 7 22 (, + ) = + 7 22 8 上恒成立 化为：，令， (, + ). (23 72+ 8) (
10、, + ).() = 23 72+ 8 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 (, + ). 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的 解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分） 15. 已知 p：复数所对应的点在复平面的第四象限内 其中， ( 1) + ( 4)( ) q：，其中 2+ 2 3 + 0( ) 如果“p 或 q”为真，求实数 a 的取值范围； (1) 如果“p 且”为真，求实数 a 的取值范围 (2) 【答案】解：若 p：复数所对应的点在复平面的第四象限内 其中 (1)( 1) + (
11、4)( ，为真命题，则，即， ) 1 0 4 1 故答案为：(1, + ) 如果“p 且”为真，即 p 真 q 假，由得： (2) (1) 即，即：， 1 0 4 0) 2 的左焦点为 A，双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直 2 9 2 2 = 1( 0) 求抛物线的方程； (1) 1 求双曲线的方程 (2) 2 【答案】解：抛物线：上一点到其焦点的距离为 6， (1) 1 2= 2(3,)( 0) 由抛物线的定义可得，即有， 3 + 2 = 6 = 6 即有抛物线的方程为； 2= 12 双曲线：的左焦点为 A， (2) 2 2 9 2 2 = 1( 0) 设， ( 9 + 2,0) 由可得
12、， (1)(3,6) 由， = 6 3 +9 + 2 双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直， 可得， 3 6 3 +9 + 2 = 1 解得， = 4 则双曲线的方程为 2 9 2 16 = 1 【解析】由抛物线的定义可得 p 的方程，解得 p，即可得到所求抛物线方程； (1) 求得 A 的坐标，求得，由两直线垂直的条件：斜率之积为，由双曲线的 (2)(3,6) 1 渐近线方程可得 b 的方程，解方程可得 b，即可得到所求双曲线的方程 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 17.已知，如，且，求证： (1)() = 0, + ) 12 0, + )1 2 ； 1 2(1) + (2) 2121+ 2 212 0 即为， (1 2)2 0 由于，且，上式显然成立， 12 0, + )1 2 以上均可逆，故； 1 2(1) + (2) 0 当时，取得最小值 = 2() (2) = 3 2 当时，面积最小，最小面积为 = 2 3 2 【解析】求出直线 MN 和直线 EF 的方程，求出 M 和
