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1、1 一、选择题 1异面直线是指( ) A空间中两条不相交的直线 B分别位于两个不同平面内的两条直线 C平面内的一条直线与平面外的一条直线 D不同在任何一个平面内的两条直线 答案 D 解析 对于 A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一 个是异面A 应排除 对于 B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如 右图，就是相交的情况，B 应排除 对于 C，如右图的 a，b 可看做是平面 内的一条直线 a 与平面 外的一条 直线 b，显然它们是相交直线，C 应排除只有 D 符合定义应选 D. 规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌 握立体几何
2、中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特 例模型，能快速、有效地排除相关的选择项 2a，b 为异面直线，且 a，b，若 l，则直线 l 必定( ) A与 a，b 都相交 B与 a，b 都不相交 2 C至少与 a，b 之一相交 D至多与 a，b 之一相交 答案 C 解析 若 a，b 与 l 都不相交，则 al，bl，即 ab，与 a，b 是异面直 线矛盾故选 C. 3直线 a 与直线 b 相交，直线 c 也与直线 b 相交，则直线 a 与直线 c 的位 置关系是( ) A相交 B平行 C异面 D以上都有可能 答案 D 解析 如图所示，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB
3、与 AA1相交，A1B1与 AA1相交，所以 ABA1B1；又 AD 与 AA1相交，所以 AB 与 AD 相交；又 A1D1与 AA1相交，所以 AB 与 A1D1异面故选 D. 4正方体 ABCDA1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有( ) A3 条 B4 条 C6 条 D8 条 答案 C 解析 画一个正方体，不难得出有 6 条 5下列命题中，正确的结论有( ) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如 果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直 角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等 3 或互补；如果
4、两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案 B 解析 是正确的 6. 空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AC、BD 中点，若 CD2AB，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 答案 A 解析 取 AD 的中点 H，连 FH、EH，在EFH 中 EFH90， HE2HF，从而FEH30， 故选 A. 7正方体 A1B1C1D1ABCD 中，BD 与 B1C 所成的角是( ) A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 A1DB1C，A1D 与 BD 所成的锐角(或直角)即为所求角，连接
5、A1B.A1DB 为正三角形， A1DB60. 4 8空间四边形 ABCD 中，AB、BC、CD 的中点分别为 P、Q、R，且 AC4，BD2，PR3，则 AC 和 BD 所成的角为( ) 5 A90 B60 C45 D30 答案 A 解析 如图，P、Q、R 分别为 AB、BC、CD 中点， PQAC，QRBD， PQR 为 AC 和 BD 所成角 又 PQ AC2， 1 2 QR BD，RP3 1 25 PR2PQ2QR2，PQR90 即 AC 和 BD 所成的角为 90，故选 A. 二、填空题 9分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_，不平行的两条直 线的位置关系是_，两条直线没有公共点
6、，则它们的位置关系是 _，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为_ 答案 平行、相交、异面 相交、异面 平行、异面 平行、相交、异 5 面 10若 ABAB，ACAC，则下列结论： ACBACB； ABCABC180； BACBAC或BACBAC180. 一定成立的是_ 答案 11正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a、M、N、P、Q 分别为棱 AB、BC、C1D1和 CC1的中点，则 MN 与 PQ 的位置关系为_，它们所成的角为_ DB1与 MN 的位置关系为_，它们所成的角是_ 答案 相交 60 异面 90 解析 连接 AC、D1C 由于 P、Q 分别为 C1D1、C1C 的中点，
7、所以 PQD1C， 同理 MNAC， 则 AC 与 D1C 所成角即为 MN 与 PQ 所成角，D1CA60. 连接 AC、BD 交于 O， 取 BB1的中点 H，连 OH，则 OHB1D， 6 连 AH，HC，则 AHHC，OHAC， 又 MNAC，OHB1D，MNB1D. 12正方体 ABCDA1B1C1D1中 7 AC 和 DD1所成角是_度 AC 和 D1C1所成的角是_度 AC 和 B1D1所成的角是_度 AC 和 A1B 所成的角是_度 O 为 B1D1中点，AC 和 BO 所成角是_度 A1B 和 B1D1所成角是_度 答案 90，45，90，60，90，60. 解析 DD1面
8、ABCD，DD1AC； D1C1DC，DCA45，D1C1与 AC 成 45角； B1D1BD，BDAC，B1D1AC； A1BD1C，D1AC 为等边三角形，成 60角； 在正方体中，O 是 B1D1中点，O 为 A1C1中点， 又 A1BBC1BOA1C1， 又 ACA1C1，BOAC，AC 与 BO 成 90角； B1D1BD，A1BD 为等边三角形，成 60角 三、解答题 8 13如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中的面 A1C1内有一点 P，经过点 P 作棱 BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由 分析 由于 BCB1C1，所以平行于 BC 的直线只需要平行于 B1C1即可
9、 解析 如图所示，在面 A1C1内过 P 作直线 EFB1C1，交 A1B1于点 E，交 C1D1于点 F，则直线 EF 即为所求 理由：EFB1C1，BCB1C1，EFBC. 9 14如图所示，AB 是圆 O 的直径，点 C 是弧 AB 的中点，D、E 分别是 VB、VC 的中点，求异面直线 DE 与 AB 所成的角 解析 由已知得 BCAC， 又 BCAC，ABC45. 又在VBC 中，D、E 分别为 VB、VC 中点， DEBC，DE 与 AB 所成的角为ABC45. 15如右图，等腰直角三角形 ABC 中，A90， BC，DAAC，DAAB，若 DA1，且 E 为 DA 的中点求异面直
10、线 BE 2 与 CD 所成角的余弦值 分析 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引 BE 与 DC 的平行线，换句话说，平移 BE(或 CD)设想平移 CD，沿着 DA 的方向， 使 D 移向 E，则 C 移向 AC 的中点 F，这样 BE 与 CD 所成的角即为BEF 或其 补角，解EFB 即可获解 10 解析 取 AC 的中点 F，连接 BF、EF，在ACD 中，E、F 分别是 AD、AC 的中点， EFCD， BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角) 在 RtEAB 中，AB1，AE AD ，BE. 1 2 1 2 5 2 在 RtAEF 中，A
11、F AC ，AE ，EF. 1 2 1 2 1 2 2 2 在 RtABF 中，AB1，AF ，BF. 1 2 5 2 在等腰EBF 中，cosFEB， 1 2EF BE 2 4 5 2 10 10 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为. 10 10 16如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为棱 AD、AB、B1C1、C1D1的中点 求证：EA1FE1CF1. 证明 如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，取 A1B1的中点 M，则 11 BFA1M AB. 1 2 又BFA1M， 四边形 A1FBM 为平行四边形 A1FBM. 而 F1、M 分别为
12、 C1D1、A1B1的中点， 则 F1M 綊 C1B1， 而 C1B1綊 BC，F1MBC，且 F1MBC. 四边形 F1MBC 为平行四边形， BMF1C.又 BMA1F，A1FCF1. 同理取 A1D1的中点 N，连接 DN，E1N， 则 A1N 綊 DE， 四边形 A1NDE 为平行四边形 A1EDN. 又 E1NCD，且 E1NCD， 四边形 E1NDC 为平行四边形 DNCE1.A1ECE1. EA1F 与E1CF1的两边分别对应平行， 且方向都相反 EA1FE1CF1. 1 规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法另 外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过 证明EA1F 与E1CF1全等来证明角相等
