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1、第四章综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于()A.B.C2 D.解析B点坐标为(0,2,3)，|OB|.应选B.2若方程x2y2xym0表示圆，则实数m的取值范围为()Am Bm0Cm Dm答案A解析(1)2124m0，m，故选A.3圆x2y22x4y0的圆心坐标和半径分别是()A(1，2)，5 B(1，2)，C(1,2)，5 D(1,2)，答案D解析圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心是(1,2)，半径为.
2、4直线l：yk(x)与圆C：x2y21的位置关系是()A相交或相切 B相交或相离C相切 D相交答案D解析方法一：圆C的圆心(0,0)到直线yk(x)的距离d，d21，所判断的位置关系为相交方法二：直线l：yk(x)过定点(，0)，而点(，0)在圆C：x2y21内部，故直线l与圆C相交5圆x2y2ax0的圆心到y轴的距离为1，则a()A1 B1C2 D2答案D解析圆心坐标为(，0)，|1，a2.6圆C1：x2y2r2与圆C2：(x3)2(y1)2r2(r0)外切，则r的值为()A. B.C5 D10答案A解析圆C1与圆C2的圆心坐标分别为(0,0)，(3，1)，则圆心距d，故2r，r.7圆x2y
3、24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案D解析点(1，)在圆x2y24x0上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直设切线的斜率为k，又圆心为(2,0)，k1，解得k，切线方程为xy20.8(20122013江苏苏州模拟)若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A1或 B1或3C2或6 D0或4答案D解析由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d，故，解得a4，或a0.9(20122013北京东城区高三期末检测)直线l过点(4,0)，且与圆(x1)2(y2)225交于A，B两点，如果|AB|8，那
4、么直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案D解析由题意，得圆心C(1,2)，半径r5，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x40，解方程组得或即此时与圆C的交点坐标是(4，2)和(4,6)，则|AB|8，即x40符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0，圆心C到直线l的距离d，又|AB|2，所以28，解得k，则直线l的方程为xy4()0，即5x12y200.10(2012广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长等于()A3 B2C.
5、D1答案B解析圆x2y24的圆心O(0,0)到直线3x4y50的距离d1，弦AB的长|AB|22.11(20122013山东威海模拟)若直线ykx1与圆x2y21相交于P，Q两点，且POQ120(其中O为原点)，则k的值为()A或 B.C或 D.答案A解析方法一：|PQ|21sin60，圆心到直线的距离d，解得k.方法二：利用数形结合如图所示，直线ykx1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2y21上，故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，POQ120，QPO30，故PAO60，k，即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为.12若直线ykx1与曲线y有公共点，则k的取值范围是()
6、A(0， B，C0， D0,1答案D解析曲线y表示的图形是一个半圆，直线ykx1过定点(0，1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是0,1，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知点A(1,2,3)，B(2，1,4)，点P在y轴上，且|PA|PB|，则点P的坐标是_答案解析设点P(0，b,0)，则，解得b.14(20122013江苏扬州安宜高中期中)若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.答案1解析由(x2y22ay6)(x2y24)0得两圆公共弦方程为ay10，又因公共弦长为2，所以
7、圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即1.又a0，所以a1.15已知圆C：(x1)2(y2)24，点P(0,5)，则过P作圆C的切线有且只有_条答案2解析由C(1，2)，r2，则|PC|5r2，点P在圆C外，过P作圆C的切线有两条16与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_答案(x2)2(y2)22解析A：(x6)2(y6)218的圆心A(6,6)，半径r13，A到l的距离5，所求圆B的直径2r22，即r2.设B(m，n)，则由BAl得1，又B到l距离为，解出m2，n2.故其方程为(x2)2(y2)22.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出
8、文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程解析AB的中点是(1,3)，kAB，AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即2xy10.令x0，得y1，即圆心C(0,1)所求圆的半径为|AC|.所求圆的方程为x2(y1)210.18(本小题满分12分)(20122013宁波高一检测)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|3|NC1|，试求MN的长解析以D为原点建立如图所示坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)由于M为BD1的
9、中点，所以M(，)，取A1C1中点O1，则O1(，a)，因为|A1N|3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N(，a，a)由两点间的距离公式可得：|MN|a.规律总结：空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解19(本小题满分12分)已知直线xmy30和圆x2y26x50.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值解析(1)圆x2y26x50可化为(x3)2y24，圆心为(3,0)直线xmy30与圆相切，2，解得m2.(2)圆心(3,0)到直线xmy30的距离d.由2得，22m220m2160，解得m29，故m3.20(本小题满分12
10、分)已知点M(x0，y0)在圆x2y24上运动，N(4,0)，点P(x，y)为线段MN的中点(1)求点P(x，y)的轨迹方程；(2)求点P(x，y)到直线3x4y860的距离的最大值和最小值解析(1)点P(x，y)是MN的中点，故将用x，y表示的x0，y0代入到xy4中得(x2)2y21.此式即为所求轨迹方程(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2,0)为圆心，以1为半径的圆点Q到直线3x4y860的距离d16.故点P到直线3x4y860的距离的最大值为16117，最小值为16115.21(本小题满分12分)如图所示，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M，N两地之间
11、的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧，点M在点O正北方向，且|MO|3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑到环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于 km.求校址距离点O的最近距离(注：校址视为一个点)解析(1)以城市开发中心O为原点，分别以l2、l1为x轴、y轴，建立平面直角坐标系根据题意，得M(0,3)，N(4,5)，故kMN，MN的中点为(2,4)，线段MN的垂直平分线方程为y42(x2)令y0，得x4，故圆心A的坐标为(4,0
12、)，半径r5.圆A的方程为(x4)2y225，的方程为(x4)2y225(0x4,3y5)(2)设校址选在点B(a,0)(a4)，则时0x4恒成立，又y225(x4)2，所以(82a)xa2170对0x4恒成立令f(x)(82a)xa217，a4，82a0.f(x)在0,4上为减函数，要使恒成立，当且仅当时，即a5，即校址距离点O的最近距离为5 km.22(本小题满分12分)已知圆P：(xa)2(yb)2r2(r0)，满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.求在满足条件的所有圆中，使代数式a2b22b4取得最小值时，圆的方程分析根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90，建立起r，a，b之间的方程组，然后解出相应的a，b，r间的关系，最后借助于一元二次函数解决解析如下图所示，圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，APB90.取AB的中点D，连接PD，则有|PB|PD|，r|b|.取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.圆截y轴所得弦长为2，|EC|1，1a2r2，即2b2a21.则a2b22b4b22b3(b1)22.
