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1、高考大题专项练四高考中的立体几何高考大题专项练第8页1.如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.(1)证明由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QE13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以Q
2、E平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为VQ-ABP=13QESABP=13112322sin 45=1.2.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=2,CE=EF=1.(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:CF平面BDE;(3)求二面角A-BE-D的大小.(1)证明设AC与BD交于点G,因为EFAG,且EF=1,因为正方形ABCD边长AB=2,所以AC=2,AG=12AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AFEG.因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)证明因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂
3、直,且CEAC,所以CE平面ABCD.如图,以C为原点,分别以CD,CB,CE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0),A(2,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),B(0,2,0),F22,22,1.所以CF=22,22,1,BE=(0,-2,1),DE=(-2,0,1).所以CFBE=0-1+1=0,CFDE=-1+0+1=0.所以CFBE,CFDE,所以CF平面BDE.(3)解由(2)知,CF=22,22,1是平面BDE的一个法向量;BA=(2,0,0),设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则nBA=0,nBE=0,即(x,y,z)(2
4、,0,0)=0,(x,y,z)(0,-2,1)=0,所以x=0,z=2y.令y=1,则z=2.所以n=(0,1,2),从而cos=nCF|n|CF|=32.因为二面角A-BE-D为锐角,所以二面角A-BE-D为6.3.(2018浙江,19)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解法一 (1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB,得AB1=A1B1=22,所以A1B12+AB12=
5、AA12,故AB1A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BC1BC,CC1BC,得B1C1=5,由AB=BC=2,ABC=120,得AC=23,由CC1AC,得AC1=13,所以AB12+B1C12=AC12,故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.(2)如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.由AB1平面A1B1C1,得平面A1B1C1平面ABB1,由C1DA1B1,得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21,得cosC1A1B1=67,sinC1A1B1=17,所以C1D=3,故si
6、nC1AD=C1DAC1=3913.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.解法二 (1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A(0,-3,0),B(1,0,0),A1(0,-3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1).因此AB1=(1,3,2),A1B1=(1,3,-2),A1C1=(0,23,-3).由AB1A1B1=0,得AB1A1B1.由AB1A1C1=0,得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由(1)可知AC1=(0,2
7、3,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2).设平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由nAB=0,nBB1=0,即x+3y=0,2z=0,可取n=(-3,1,0).所以sin =|cos|=|AC1n|AC1|n|=3913.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.4.(2018全国,理20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且O
8、P=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)解如图,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23).取平面PAC的法向量OB=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0a2),则AM=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由APn=0,AMn=0得2y+23z=9,ax+(4-a)y=
9、0.可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos=23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2.由已知可得|cos|=32.所以23|a-4|23(a-4)2+3a2+a2=32,解得a=-4(舍去),a=43.所以n=-833,433,-43.又PC=(0,2,-23),所以cos=34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.5.如图,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,EA=ED,AE平面CDE.(1)求证:AB平面ADE;(2)设M是线段BE上一点,当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为223时,试确定点M的位置.(1)证明AE平面CDE,CD平面CDE,
10、AECD.在正方形ABCD中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE.ABCD,AB平面ADE.(2)解由(1)得平面EAD平面ABCD,取AD的中点O,取BC的中点F,连接EO,OF.EA=ED,EOAD,EO平面ABCD.以OA,OF,OE分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).设M(x,y,z).连接AM,BM=(x-1,y-2,z),BE=(-1,-2,1),B,M,E三点共线,设BM=BE(01),M(1-,2-2,),AM=(-,2-2,).设AM与平面EAD所成角为,平面EAD的一个法向量为n=(
11、0,1,0),sin =|cos|=|2-2|62-8+4=223,解得=13或=-1(舍去),点M为线段BE上靠近点B的三等分点.6.(2018全国,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.(1)证明由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面
12、AMD平面BMC.(2)解以O为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0).设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则nAM=0,nAB=0,即-2x+y+z=0,2y=0.可取n=(1,0,2),DA是平面MCD的法向量,因此cos=nDA|n|DA|=55,sin=255.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是255.7.如图,在四棱柱ABCD-
13、A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=5,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13,求线段A1E的长.解如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M1,12,1,N(1,-2,1).(1)证明:依题意
14、,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.MN=0,-52,0.由此可得MNn=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)AD1=(1,-2,2),AC=(2,0,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则n1AD1=0,n1AC=0,即x1-2y1+2z1=0,2x1=0.不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则n2AB1=0,n2AC=0,又AB1=(0,1,2),得y2+2z2=0,2x2=0.不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=n1n2|n1|n2|=-1010,于是sin=31010.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为31010.(3)依题意,可设A1E=A1B1,其中0,1,则E(0,2),从而NE=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos=NEn|NE|n|=1(-1)2+(+2)2+12=13,整理得2+4-3=0,又因
