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1、第4讲 直线、平面垂直的判定与性质,考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求.,知 识 梳 理,1.直线与平面垂直,(1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面内的 直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.,任意,(2)判定定理与性质定理,两条相交直线,平行,la,lb,a,b,a,b,2.平面与平面垂直,(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,l,l,a,la,l,3.直
2、线与平面所成的角,(1)定义：平面的一条斜线与它在 所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角. (2)范围：当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为 .,平面内的射影,90和0,4.二面角的有关概念,(1)二面角：从一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”),(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.( ) (2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个.(
3、 ) (3)若两条直线垂直，则这两条直线相交.( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ),2.直线a直线b，a平面，则b与的位置关系是_.,解析 由垂直和平行的有关性质可知b或b.,答案 b或b,3.(2016盐城模拟)设，为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：,若，则； 若，且l，则l； 若直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面垂直； 若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面. 其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号).,解析 借助于正方体易知正确；对于，若平面
4、内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面不垂直，所以错；中的不共线的三点有可能是在平面的两侧，所以两个平面可能相交或平行.故填.,答案 ,4.(2014四川卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是_.,5.(苏教版必修2P42T16改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，,(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心. (2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtP
5、OC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心.,图1,(2)如图2，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB， PCAB， 又ABPO，POPCP， AB平面PGC， 又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB的高. 同理可证BD，AH为ABC底边上的高， 即O为ABC的垂心.,图2,答案 (1)外 (2)垂,考点一 线面垂直的判定与性质,【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.,证明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,证明 (1)在四棱锥P-ABCD中， PA
6、底面ABCD，CD平面ABCD， PACD， ACCD，且PAACA， CD平面PAC.而AE平面PAC， CDAE.,(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，AB平面ABCD， PAAB.又ABAD，且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.,规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线
7、垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.,证明：BC平面POM.,所以OB2OM2BM2，故OMBM. 又PO底面ABCD，BC平面ABCD，所以POBC. 又OM平面POM，PO平面POM，OMPOO， 所以BC平面POM.,考点二 面面垂直的判定与性质,【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：,(1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.,证明 (1)
8、平面PAD平面ABCDAD. 又平面PAD平面ABCD，且PAAD，PA平面PAD， PA底面ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点， ABDE，且ABDE. 四边形ABED为平行四边形.BEAD. 又BE平面PAD，AD平面PAD， BE平面PAD.,(3)ABAD，且四边形ABED为平行四边形. BECD，ADCD. 由(1)知PA底面ABCD，则PACD，又PAADA， CD平面PAD，CD平面ABCD，又PD平面PAD，从而CDPD， 又E、F分别为CD、CP的中点， EFPD，故CDEF. 由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE， CD平面BEF.又CD平面PCD.
9、 平面BEF底面PCD.,规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理. (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,【训练2】 (2016南通调研)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC，E，F分别是A1B，AC1的中点.,(1)求证：EF平面ABC； (2)求证：平面AEF平面AA1B1B； (3)若A1A2AB2BC2a，求三棱锥FABC的体积.,(1)证明 连接A1C. 直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形， 点F在A1C上，且为A1C的中点. 在A1BC中，
10、E，F分别是A1B，A1C的中点， EFBC. 又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.,(2)证明 直三棱柱A1B1C1-ABC中，B1B平面ABC， B1BBC. EFBC，ABBC，ABEF，B1BEF. B1BABB，EF平面ABB1A1. EF平面AEF，平面AEF平面ABB1A1.,考点三 直线、平面垂直的综合应用,【例3】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.,(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD； (2)求四棱锥P-ABCD的体积.,(1)证明 在ABD中，AD4，
11、BD8，AB4 ， AD2BD2AB2.ADBD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD. 又BD平面MBD， 平面MBD平面PAD.,规律方法 平行、垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD； (2)求四棱锥P-ABCD的体积.,(1)证明 在ABD中，AD4，BD8，
12、AB4， AD2BD2AB2.ADBD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD. 又BD平面MBD， 平面MBD平面PAD.,(2)解 过P作POAD， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD， PO平面ABCD， 即PO为四棱锥PABCD的高. 又PAD是边长为4的等边三角形， PO2. 在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC， 四边形ABCD为梯形.,规律方法 平行、垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注
13、意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,(1)证明：AB平面PFE； (2)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.,考点四 线面角、二面角的求法,【例4】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.,(1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE平面PCD； (3)求二面角A-PD-C的正弦值.,(1)解 在四棱锥P-ABCD中， 因PA底面ABCD，AB平面ABCD， 故PAAB.又ABAD，PAADA， 从而AB平面P
14、AD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而APB为PB和平面PAD所成的角. 在RtPAB中，ABPA，故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.,(2)证明 在四棱锥P-ABCD中， 因PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA. 由条件CDAC，PAACA， CD平面PAC. 又AE平面PAC，AECD. 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 又PCCDC，综上得AE平面PCD.,(3)解 过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示.,由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD. 因此AME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得CAD30. 设ACa，可得,规律方法 求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.,【训练4】 (2016天津模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC.E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.,(1)证明PA平面EDB； (2)证明
