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1、1了解向量的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何意义,第四知识块 平面向量,第1课时 向量的概念及表示、向量的线性运算,本部分知识是平面向量的基础知识，考查的知识点主要有向量的有关概念、 运算法则，向量共线的条件和基本定理，多以填空题的形式出现，属于简单题型,【命题预测】,【应试对策】,1平面向量内容丰富，用途广泛，可以与高中数学的各个知识点相结合，高考命题时非常重视向量的知识与其他知识的综合应用，而且常出常新由于零向
2、量的方向是任意的，而且规定零向量平行于任何向量，因此在向量的共线中，一定要看清是否是“非零向量”与向量a同向的单位向量为 ，与向量a平行的单位向量为 .,2由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小与方向，它是可以任意平移的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点运用向量加法平行四边形法则时，两向量的起点必须相同，向量加法的三角形法则要首尾相接，可以推广到多个向量相加的情形向量的化简计算中，要充分利用向量的首尾字母 3注意向量共线与直线共线的区别：平行向量不一定都共线，但是所有的平行向量都可以平移到同一条直线上；所有共线的向量，方向要么相同要么相反，所以共线的向量都
3、是平行向量而两直线共线是指两直线重合 判断或证明A、B、C三点共线时，只需判断或证明以A、B、C三点为起点或终点组成的任意两个向量a，b满足ba即可(其中为实数) 数乘向量是刻画平行向量性质的运算，通过向量共线的条件可证向量共线以及多点共线问题，这是十分重要的技能，要注意两向量平行与直线平行的区别,两向量平行包括两向量所在直线重合的情况,1用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题，但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况也就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置 2用基本向量表示某一向量的技巧 观
4、察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系；化简结果,【知识拓展】,1向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量 的大小叫做向量 的 (或模)，记作 . (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的 (3)单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量,大小,方向,长度,长度为0,任意,1个单位长度,(4)平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量平行向量又称 为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上 规定：0与任一向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量 (6)相反向量：与向量a长度 且方向 的向量叫做a的相反向量 规定零向量的相反向量仍是零向量,共线向
5、量,相同,相反,非零,平行,相等,相同,相等,相反,2向量的加法和减法 (1)加法：法则：服从三角形法则，平行四边形法则 运算性质：ab (交换律)； (ab)c (结合律)；a0 . (2)减法：减法与加法互为逆运算；法则：服从三角形法则,ba,a(bc),0a,a,3实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下： |a| ； 当 时，a与a的方向相同；当 时，a与a的方向相反； 当0时，a ，方向任意 (2)运算律：设、R，则：(a) ； ()a ；(ab) .,|a|,0,0,0,()a,aa,ab,4向量共线定理 向量b与a(a0)共线的充要条件是 .,有且只有一个实数，使得ba,1如图所
6、示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E、F分别为AD、BC的中点，则图中与 共线的向量有_个 解析：方向相同和方向相反的向量就是共线向量， 所以 均与向量 共线 答案：5,2如图所示，ABC和ABC是在各边的 处相交的 两个全等的正三角形设正ABC的边长为a，图中列出了 长度均为 的若干个向量，则(1)与向量 相等的 向量是_；(2)与向量 共线的向量有_ 答案：(1) (2),已知正方形ABCD边长为1， 则abc的模等于_ 解析：|abc|cc|2|c|2 2 . 答案：2,3,4已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量 等于_ 解析：如图，点O到平
7、行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c.综合图形有 =a+c-b. 答案：a+c-b,在ABCD中， ，M为BC中点， 则 _(用a、b表示) 解析：解法一：如图， = 解法二：设AC交BD于O，由于N为AC的 处分点，则有N为OC中点， 答案：,5,我们把具有大小和方向的量叫做向量，更具体一些，向量可以理解为“一个位移”或表达“一个点相对于另一点的位置”的量有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点例如，力就是既有大小，又有方向，并且还有作用点的向量有些向量只有大小与方向，而无特定的位置例如：位移、速度等通常将后一种向量叫做自由向量以后无特殊说明，我们所提到的向量，都是自由向量，即
8、我们高中阶段所研究的向量只有大小、方向两个要素，如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等,【例1】 给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab； 若 ，则ABCD为平行四边形;在ABCD中，一定有 若mn，np，则mp；若ab，bc，则ac.其中不正确的个数是_ 思路点拨：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可,解析： 两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；不一定有相同的起点和终点，所以不正确； |a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；因为 可能有A、B、C、D在同一直
9、线上，所以不正确；零向量与任一非零向量都平行，当b0时，a与c不一定平 行，故不正确 答案：4,变式1：下面命题：平行向量的方向一定相同；共线向量一定相等；相等向量一定共线，不相等的向量一定不共线； 是两平行向量；两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同其中正确命题为_(只写上正确命题的序号即可),解析：平行向量的方向不一定相同平行向量是以方向这一要素定义的，它有方向相同和方向相反两种不同情况不一定共线向量就是平行向量，只要保证方向相同或相反，它们就共线，与模的大小无关相等必共线，共线未必相等，不相等的可以是不共线的，也可以是共线的，故不正确 是相反向量，故为平行向量，正确由平移概念知
10、，向量可自由平移到任一位置，而方向大小不变，故不正确,答案：,1用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理 2在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解,【例2】 如右图所示， 若ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知 ，试用a、b、c表示 思路点拨：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键,解： = =a-2b-c.,
11、变式2：在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DB OB.DC与OA交于E，设 ，用a，b表示向量 解：因为A是BC的中点，所以 2ab. 2ab；,向量共线定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，主要是看能否找到唯一的实数使两向量相等把向量平行的问题转化为寻求实数使向量相等的问题,【例3】 已知非零向量e1和e2不共线 如果 ， 求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值,思路点拨：（1） （2）,证明： （1） e1e2， 2e18e23e13e2 5(e1e2)5 ， 、 共线，又 与 有公共点
12、B. A、B、D三点共线,(2)解：ke1e2与e1ke2共线， 存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2. 由于e1与e2不共线，只能有 解得k1.,变式3：设两个非零向量e1和e2不共线 (1)如果 e1e2， 3e12e2， 8e12e2， 求证：A、C、D三点共线； (2)如果 e1e2， 2e13e2， 2e1ke2， 且A、C、D三点共线，求k的值,(1)证明： e1e2， 3e12e2， 8e12e2， 4e1e2 (8e12e2) ， 与 共线，又 与 公共点C.A、C、D三点共线 (2)解： (e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线， 与
13、共线，从而存在实数使得 ，即3e12e2(2e1ke2)， 由平面向量的基本定理，得 ，解之得,【规律方法总结】,1向量不同于数量向量既有大小，又有方向向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小 2向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实质是向量的伸缩 3数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧 4向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题 5关于数量的代数运算公式、法则在向量范围内并不完全适用，要防止负迁移.,【例4】 考查下面四个命题：0a0；0a0；0 ； |ab|a|b|，正确的个数为_,【答题实录】,【错因分析】,根据向量数量积的概念，0a应是一个实数0，而不能是一个向量；根据实数与向量的定义，0a应是一个向量，它的模等于0，方向是任意的；正确由数量积定义知|ab|a|bcos |a|b|
