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1、4.7正弦定理、余弦定理1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(5)cos A cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并
2、可由此计算R、r.3在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC中，AB必有sin Asin B()(2)若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)()(3)若ABC中，acos Bbcos A，则ABC是等腰三角形()(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形()(5)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，三角
3、形为钝角三角形()(6)在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于.()1(2013湖南改编)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin Bb，则角A .答案解析在ABC中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A为锐角，A.2在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是 三角形答案钝角解析sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，cos C，ABC为钝角三角形3(2014江西改编)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是 答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6
4、.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.4(2014广东)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos Cccos B2b，则 .答案2解析方法一因为bcos Cccos B2b，所以bc2b，化简可得2.方法二因为bcos Cccos B2b，所以sin Bcos Csin Ccos B2sin B，故sin(BC)2sin B，故sin A2sin B，则a2b，即2.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c
5、的值；(2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理得：cos B，即a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得ac3.(2)在ABC中，cos B，sin B .由正弦定理得：，sin A.又AC，0A0，sin A.cos B0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.题型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状解(1)由2asin A(2b
6、c)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，0A180，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.sin Bcos B，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，B60.ABC60，ABC为等边三角形思维升华(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等
7、腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为 钝角三角形 直角三角形锐角三角形 等边三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 等边三角形直角三角形等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形答案(1)(2)解析(1)已知cos A，由正弦定理，得cos A，即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin
8、Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0，于是有cos B0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形(2)cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形题型三和三角形面积有关的问题例3(2014浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积解(1)由题意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB.又AB(0，)，得2A2B，即A
9、B，所以C.(2)由c，sin A，得a.由ac，得AC，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面积为Sacsin B.思维升华三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化(1)(2013课标全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为 (2)(2014山东)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为 答案(1)1(2)解析(1)因为B
10、，C，所以A.由正弦定理得，解得c2.所以三角形的面积为bcsin A22sin .因为sin sin，所以bcsin A21.(2)已知A，由题意得|cos tan ，|，所以ABC的面积S|sin .三角变换不等价致误典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状易错分析(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形；(2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；(3)结论表述不规范规范解答解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin A
11、cos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形温馨提醒(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断；(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的
