《2016高考数学大一轮复习 13.1合情推理与演绎推理教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 13.1合情推理与演绎推理教师用书 理 苏教版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.1合情推理与演绎推理一、合情推理1归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)(2)特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2类比推理(1)定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理3合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理二、演绎推理1演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理简言之
2、，演绎推理是由一般到特殊的推理2“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊对象；(3)结论根据一般原理，对特殊对象做出的判断【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a
3、nn(nN*)()(6)2，3，4， 6(a，b均为实数)，则可以推测a35，b6.()1在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_答案18解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为18.2(2013陕西)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_答案12223242(1)n1n2(1)n1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负
4、相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.3设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论，设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列答案解析对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn，则T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1
5、a2a16，因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，而T4，的公比为q16，因此T4，成等比数列4平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为f(n)_.答案解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；，n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域.题型一归纳推理例1设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明思维点拨先正确计算各式的值，再根据自变量之和与函数之和的特征进行归纳解f(0)f(1
6、)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3)，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1x21时，均有f(x1)f(x2).证明：设x1x21，f(x1)f(x2).思维升华归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(1)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_(2)已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则有_答案(1)567891011121381(2)f(2n)(n2，nN*)解析(1)由于112,2349
7、32,345672552,456789104972，所以第五个等式为56789101112139281.(2)由题意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN*)题型二类比推理例2已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.思维点拨等差数列an和等比数列bn类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘
8、方开方运算答案解析设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.因为ana1(n1)d，bnb1qn1，amn，所以类比得bmn.思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_答案1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥
9、ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.题型三演绎推理例3已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点(，)对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值思维点拨证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上小前提是f(x)(a0，且a1)的图象关于点(，)对称(1)证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(，)对称的点的坐标为(1x，1y)由已知y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函
10、数yf(x)的图象关于点(，)对称(2)解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1
11、)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)yf(x)为R上的单调增函数高考中的合情推理问题典例：(1)(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶
12、数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.答案1 000(2)若P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1.答案1(3)观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析归纳观察法观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列故第五个不等式为1.答案1温馨提醒(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误 .应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的
