《2016高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法教师用书 理 苏教版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.3数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时结论成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时结论成立，证明当nk1时结论也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()
2、(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()1若f(n)1(nN*)，则f(1)为_(用式子表示)答案1解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5.2设Sn1，则Sn1Sn_(用式子表示)答案解析Sn11，Sn1，Sn1Sn.3设f(n)，nN*，那么f(n1)f(n)_(用式子表示)答案解析f(n1)f(n)().4用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1成立时，左边需计算的项是_答案1aa2解析观察等式左边的特征得到n
3、1时的式子.题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)思维点拨n从k变到k1，左边增乘了2(2k1)证明当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；假设当nk时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，这就是说当nk1时等式也成立由可知，对所有nN*等式成立思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边
4、增加的项，且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法用数学归纳法证明：(nN*)证明当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设nk时，等式成立即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立即对所有nN*，原式都成立题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x，时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nN*，证明：an.思维点拨(1)利用题中条件分别确定a的范围进而求a；(2)利用数学归纳法证明(1)解由题意，知f(x)axx2(x)2.又f(x)max，所以f().所以a21.又x，时，f(x)，所以即解得a
5、1.又因为a21，所以a1.(2)证明用数学归纳法证明：当n1时，0a1，显然结论成立因为当x(0，)时，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2时，原不等式也成立假设当nk时，不等式0ak成立因为f(x)axx2的对称轴为直线x，所以当x(0，时，f(x)为增函数所以由0ak，得0f(ak)f()于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立根据，知对任何nN*，不等式an1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln(n1)证明如下：方法一：上述不等式等价于，x0.令x，nN*，则ln.下面用数学归纳法证明当n1时，ln 2，
6、结论成立假设当nk时结论成立，即ln(k1)那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN*成立方法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN*，则ln.故有ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，结论得证题型三归纳猜想证明例3已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性思维点拨通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，
7、由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得：ak1(an0)即当nk1时，通项公式也成立由和，可知对所有nN*，an都成立思维升华(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见
8、的问题在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，0)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an 的通项公式，并加以证明解(1)a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)由(1)可猜想数列通项公式为an(n1)n2n.下面用数学归纳法证明：当n1,2,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kN*)时等式成立，即ak(k1)k2k，那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以当nk1时，an(n1)n2n，猜想成立，由知数列的通项公式为an(n1)n
9、2n(nN*，0)归纳猜想证明问题典例：(14分)数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想思维点拨(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4观察所得数值的特征猜出通项公式(2)用数学归纳法证明规范解答(1)解当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a2.当n3时，a1a2a3S323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4.4分由此猜想an(nN*)6分(2)证明当n1时，a11，结论成立7分假设nk时，结论成立，即ak，8分那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.12分这表明nk1时，结论成立由知猜想an(nN*)成立14分归纳猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立第三步：假设nk(kn0
