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1、高中数学选修4-2矩阵与变换,2.4.1逆变换与逆矩阵,学习重点：会判别逆矩阵是否存在,如何求逆矩阵;,学习难点：熟练运用公式求逆矩阵;,学习目标: 1.通过图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, 通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在; 2.会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质; 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵; 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律;,复习：2.3 变换的复合与矩阵的乘法,1.矩阵乘法的法则是:,2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.,3.矩阵乘法不
2、满足交换律,这可能是第一次遇到乘法不满足交换律的情况.此时,可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换律.而在适当时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)可满足交换律.,练一练,创造情境,由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几 何变换，它把点（x ，y）变换到点（x，y）.反过来:若知道变换后的结果（x，y）,能否“找到回家的路”,再让它变回到原来的（x ，y）呢？ 如图示：,（x ，y）,（x，y）,走过去,走回去,创造情境,引例：对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同：,（1）以x轴为反射轴的反射变换；
3、 （2）绕原点逆时针旋转600的旋转变换； （3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标伸长为原来的 2倍的伸压变换； （4）沿y轴方向，向x轴的投影变换； （5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且 （x , y）（x+2y , y）的切变变换；,情境分析,（1）对于反射变换TA，满足条件的变换即为其自身，即B=A；,（2）对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，即B为绕原点顺时针旋转600 的变换矩阵；,（3）对于伸压变换TA，存在伸压变换TB，即B为使平面的保持横坐标不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵；,（4）对于投影变换TA，不存在满足条件的变换矩阵B。 原因：投影变换不是一一
4、映射；,（5）对于切变变换TA，存在切变变换TB，即B为使平面的保持纵坐标不变,横坐标依纵坐标的比例减少,且（x , y）（x-2y , y）的变换矩阵；,情境分析,由引例,我们可以得到：有的矩阵能“找到回家的路”，称它为原变换的逆变换，而逆变换也对应着一个矩阵,但并非所有的二阶矩阵A，都存在二阶矩阵B，使得AB=BA=E.,那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵 ，,如果存在一个矩阵 ,使得,数学建构
5、,二、逆矩阵的概念和性质,例 设,注意： 要同时成立！,现在要解决的问题：,1. 二阶方阵 满足什么条件时可逆?,2. 可逆时，逆阵怎样求？,若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,2、逆矩阵性质,证明：,(1)、,证明,(2)、,(3)、,2、逆矩阵性质,例 设,解,设 是 的逆矩阵,则,目前只能利用定义，用待定系数法解决！,例题分析,又因为,所以,总结逆矩阵的求法？,练一练,解,给方程两端左乘矩阵,总 结：,例2,例题分析,例题分析,课堂小结,1.逆矩阵的概念及运算性质;,2.逆矩阵的计算方法;,3.逆矩阵 存在,思考题,思考题解答,答,
