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1、第二章 内积空间,一、实内积空间的定义,1、实内积空间的概念,例1 常见几个线性空间上内积的定义： 欧氏空间（有限维实内积空间） ：, 上连续函数的全体构成的空间 ：,注：向量的长度 或,正交向量 ：,实数域上所有n次多项式构成的线性空间 ：,实数域上所有n阶方阵构成的线性空间 ：,上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：,上Cauchy-Schwarz不等式的积分形式：,例2 设 是 中的一组向量，证明这组 向量线性无关的充要条件是下列行列式（Gram）,证明：设,2、正交基与子空间的正交关系,定义1 （正交组） 内积空间中两两正交的一组非零向量，称之为正交组。,注： 任何一个正交组
2、都是线性无关的。,定义2 （正交基） 在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。 如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基为标准（或规范）正交基，通常记为,定理1 （正交基的构造） 任一n维欧氏空间 都存在正交基。,证明（略）。 证明过程给出了正交基的一种构造方法：著名的Schmidt正交化方法（线性代数学过）。,定义3（正交矩阵） 设 ，如果 ，则称 为正交矩阵。,性质1 不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵。,设n维欧氏空间的两组标准正交基为,即,注：正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。,正交矩阵,性质（略）,定义4
3、（正交子空间） 设 是内积空间 的两个子空间，如果对 ，均有 ，则称 与 是正交的子空间，并记为 。,性质2 设内积空间 的两个子空间 与 是正交的，则 是直和。,两种方法说明：交集为零空间； 零元素表示唯一。,定义5（正交补空间） 设 是内积空间 的两个子空间，且满足 ，则称 是 的正交补空间，简称正交补，记为 。,性质3 n维欧氏空间 的任一子空间 都有唯一的正交补。,证明:,如果 ，则 是 唯一的正交补。,如果 ，在 中选取一组正交基 ，并将其扩充为 的一组正交基,则 就是 的正交补。,唯一性：,证明:,如果 ，则 是 唯一的正交补。,同理,利用Schmidt正交化方法将其化为正交基：,
4、将 扩充为 的一组基：,解：,例4 设 ，称 的子空间 为矩阵 的值域，求 。,注：一般来说，称 为矩阵 的零空间。,3、内积空间的同构,定义1 （内积空间的同构） 设 是两个内积空间，如果 和 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的 满足 则称 和 是同构的。,注：首先作为线性空间是同构的，在此同构之下保持内积不变。,定理1 所有n维欧氏空间都同构。,设 是n维欧氏空间， 是其一组标准正交基，则有 定义 容易验证该映射为同构映射，且保持内积不变，从而 与 同构。,设 是另一n维欧氏空间， 是其一组标准正交基，则有 定义 从而 与 同构。,4、正交变换,定义1 （正交变换） 设 是内积空间
5、的线性变换，如果 对任意的 ，满足 则称线性变换 为 的一个正交变换。,定理1 （正交变换的等价定义） 设 是n维欧氏空间 的一个线性变换，则下列命题等价： 是正交变换。 保持向量长度不变，即对 ，均有 。,如果 是 的一组标准正交基，则 也是 的一组标准正交基。 在 中任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵。,证明思路：,是正交变换,取,是正交变换,由2中性质1：不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵，因此 为正交矩阵。,例5 几个正交变换的例子： 的一个线性变换 ，对 则 是正交变换。,设 是内积空间 的一个线性变换，则 是正交变换 。 即：保持距离不变的线性变换是正交变换。,设 是内积空间 的
6、一个变换，证明：如果 保持 向量的内积不变，即对 ，则 一定是线性变换，故是正交变换。,5、点到子空间的距离与最小二乘法,定义1 （距离） 设 是欧氏空间， ，称 为 与 的距离，记为 。,性质1 （距离的性质） ，当且仅当 时等号成立。,定义2 （点到子空间的距离） 设 是欧氏空间 的一个子空间， ，称 为 到 的距离。,问题: 达到最小距离的 具有什么性质？,设,如果,定义3 最小二乘法问题,提法1 （矛盾方程组求解） 设给定不相容（或矛盾）线性代数方程组 其中,寻求近似解 ，满足 故称之为最小二乘解，相应方法称为最小二乘法。,提法2 （数据拟合问题） 设给定一组数据 ，寻 求一个近似函数
7、 （经验函数）来拟合该组 数据，使得,提法1的求法,记,问题 相当于：对于 给定的向量 ，寻求 使得 之间 的距离达到最小。,记,法（正规）方程组,解：,一、复内积空间的定义,6、复内积空间（酉空间）,例7 常见几个线性空间上复内积的定义： n维酉空间（有限维复内积空间） ：,实数域上所有n次多项式构成的线性空间 ：,实数域上所有n阶方阵构成的线性空间 ：,上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：,关于复向量的长度、正交向量、正交基、标准 正交基的概念完全类似实内积空间中的定义，这儿 不再一一概述。,定义2 （酉变换） 设 是酉空间 的线性变换，如果 对任意的 ，满足 则称线性变换 为
8、 的酉变换。,二、酉变换,定义3（酉矩阵） 设 ，如果 ，则称 为酉矩阵。,定理3 所有n维酉空间都是同构的。,7、正规矩阵,定义1（正规矩阵） 设 ，如果 ，则称 为正规 矩阵。,常见的正规矩阵： 实对称矩阵： 实反对称矩阵： 厄米特矩阵： 反厄米特矩阵： 正交矩阵： 酉矩阵：,不属于前述类型的正规矩阵：,引理 （酉矩阵的构造） 设 是酉空间 的一个单位向量，则存在一个以 为第一个列向量的酉矩阵 。,证明：,取 ，且满足,上述关于变量 的方程组的解空间为n-1维，不妨假设 其线性无关组为 ，将其正交单位化后 得到 ，则 构成 的一组标准正交基，从而,证明：充分性直接利用定义验证易得。,定理1
9、 （正规矩阵的判定条件） 设 为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵 ，使得 酉相似于对角矩阵，即,必要性：数学归纳法证明（对阶数n归纳）,当n=1时，结论显然成立。,假设结论对n-1阶矩阵成立，下证对n阶矩阵也成立。,设 是 的一个特征值， 是相应单位特征向量，,由引理知，存在以 为列向量的酉矩阵,其中 是n-1阶矩阵,下面易证 矩阵 和 均为正规矩阵。,因为 是n-1阶正规矩阵，由归纳假设结论成立。,由归纳假设，存在n-1阶酉矩阵 ，满足,记 ， 仍为酉矩阵，,是矩阵 的n个特征值。,推论1 设 是n阶正规矩阵，特征值为 是厄米特矩阵 的特征值全为实数。 是反厄米特矩阵 的特征值为0或纯虚数。
10、 是酉矩阵 的每个特征值 的模均为1。,推论2 厄米特（Hermite）矩阵 任意两个 不同特征值对应的特征向量是正交的。,8、厄米特（Hermite）二次型,定义1（厄米特二次型） 设 ， 为厄米特矩阵，则二次型 称之为厄米特二次型， 的秩为二次型的秩。,例如：,注意：厄米特二次型与实二次型的区别。,二次型矩阵,厄米特二次型中不含交叉项时，称为二次型的标准型，即此时二次型矩阵为对角形矩阵。,定理1 厄米特二次型 经满秩线性变换 后仍为厄米特二次型，且秩不变。,定义2（厄米特相合） 设厄米特二次型 经满秩线性变换 化为 ，则称矩阵 与 是 厄米特相合。或者说，存在可逆矩阵 ，使得 ，则称 与
11、厄米特相合。,注意：实二次型时称为合同关系。,定理2 每个厄米特二次型 都可用某个酉变换 ，使其化为标准型： 其中 是 的特征值。,例8 化下列厄米特二次型为标准型：,解：该厄米特二次型的矩阵为,下面先计算矩阵的特征值。,解：该厄米特二次型的矩阵为,下面特征值相应的特征向量。,解方程组,解方程组,解方程组,将特征向量 利用Schmite方法正交化 处理（本题3个向量已经正交：不同特征值对应的特 征向量一定正交），然后再进行单位化。,将上述三个向量按照列排起来的矩阵就是酉矩阵 。,所求标准型为：,定义3（正（负）定二次型） 如果对 ，厄米特二次型 恒为正（负）数，则称该二次型是正（负）定的，此时
12、厄米特矩阵 称为正（负）定的；若 恒不为负（正）数，即 ，则称 为半正（负）定的，相应的矩阵 称为半正（负）定的。,定理3 厄米特二次型 为正定（或半正定）的充要条件是 的特征值全为正数（或全为非负数）。,证明：充分性由定理2易证，必要性（采用反证法）,设存在特征值为非负，不妨假设,取非零向量,类似地可以证明半正定的情况。,定理4 如果 为厄米特矩阵，则下列两个条件中的任何一个都是 为正定矩阵的充要条件： 存在满秩矩阵 ，使得 ； 存在满秩矩阵 ，使得 。,定理5 厄米特二次型 为正定的充要条件是 的各阶顺序主子式大于零。,定理6 设 ， 是两个厄米特二次型，且 正定，则存在满秩线性变换 ，使这两个二次型同时化为标准型：,利用定理4证明。,
