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1、3.1 传递函数矩阵的有限极点和零点 3.2 传递函数矩阵的结构指数 3.3 无穷远处的极点和零点,第3章 传递函数矩阵的结构特性,3.1 传递函数矩阵的有限极点和零点,SISO系统：,定义： 零点当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。 极点当输入u为有限值时，使输出y(s)为的那些s值。 显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值； 极点是使G(s)的模为 的那些s值。 对MIMO系统，则要复杂得多。,一. Rosenbrock对零极点的定义,给定,定义：G(s)的极点为M(s)中 的根，i=1,2,r G(s)的零点为M(s)中 的根，i=1,2,r,其Smith-Mcmilla
2、n形为：,给定,例如 所以，零点：s=0处有三个零点； 极点：s=-1处有两个极点； s=-2处有三个极点。,二. 其它对零极点的定义,1. 基于不可简约矩阵分式描述的定义 G(s)的极点：detD(s)=0的根，或detA(s)=0的根 G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。 （注：该定义等价于Rosenbrock定义） 证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则,则,而 对左不可简约MFD有同样的结论。 2.基于状态空间描述的定义 G(s)严格真时，对应的状态空间描述A,B,C能 控，能观，则,3. 方便计算的定义 （1）G(s)的极点 G(s)的所有非零子
3、式的最小公分母，就是G(s) 的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根就是G(s)的极 点. （2）G(s)的零点 当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分 子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)， z(s)=0的根，即为G(s)的零点。 注：各阶子式必须化为不可简约形式。,4 几点讨论 （1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例 （2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性”,（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管 有时相同。
4、（4）若s=是G(s)的零点，则必有 但不一定rankG(s= )rankG(s). 如： G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点 的依据。,三. 传递函数矩阵的零极点的性质,1. 极点的性质 SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简 约实现A,b,c,d的单变量系统 定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存 在一个初始状态 ，使得系统输出的零输入响应,定理的意义： 若是g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产 生模态 ,而不必施加任何输入； 若不是g(s)的极点，则不能产生。在输出端产 生 的
5、唯一途径是在输入端施加,对MIMO系统，有相同的结论。 即：考虑具有正则传递矩阵G(s)及不可简约实现A,B,C,D的多变量系统。 数是G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态 ，使得系统输出端的零输入响应为 ，其中r为非零向量。,2.零点的性质 考虑严真G(s)及不可简约实现A,B,C, 为G(s)的任一零点，则对满足,3.2 传递函数矩阵的结构指数,一. 结构指数的定义,给定,定义： 则 是G(s)的有限极点和零点的集合。,二 对结构指数的几点讨论 （1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。 （2）零极点的重数 在s=处的极点重数= 中负指数之和取 绝对值。 在s=处的零点重数= 中正指数之和,3.3 无穷远处的零极点,一. 无穷远处零极点的定义 SISO系统：s时，若G(s)趋于0，则在处有零点； 若G(s)趋于，则在处有极点（非真时）。 MIMO系统：在G(s)中，以 代入，化成H()有理 分式矩阵，对应的Smith-Mcmillan标准形为 则： 注：只需确定无穷远处零极点的个数。,例： 无穷远处的极点：=0，2个 无穷远处的零点： =0，1个,二. 无穷远处的结构指数 1 s=处结构指数 则G(s)在s=处结构指数,2 s=处极零点重数,G(s)在s=处极点重数,G(s)在s=处极点重数,G(s)在s=处零点重数,
