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1、2017-2018学年第二学期普陀区高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页,21道试题,满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对前6题得4分、后6题得5分,否则一律得零分.1. 抛物线的准线方程为_.2. 若函数是奇函数,则实数_.3. 若函
2、数的反函数为,则函数的零点为_.4. 书架上有上、中、下三册的白话史记和上、下两册的古诗文鉴赏辞典,现将这五本书从左到右摆放在一起,则中间位置摆放中册白话史记的不同摆放种数为_(结果用数值表示).5. 在锐角三角形中,角、的对边分别为、,若,则角的大小为_.6. 若的展开式中含有非零常数项,则正整数的最小值为_.7. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险,对在当年内发生此种事故的每辆车,单位均可获赔(假设每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和,且各车是否发生事故相互独立,则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_(结果用最简分数表示).8. 在平面直角坐标系中,直线
3、的参数方程为(为参数),椭圆的参数方程为(为参数),则直线与椭圆的公共点坐标为_.9. 设函数(且),若是等比数列()的公比,且,则的值为_.10. 设变量、满足条件,若该条件表示的平面区域是三角形,则实数的取值范围是_.11. 设集合,若,则实数的取值范围是 .12. 点,分别是椭圆的左、右两焦点,点为椭圆的上顶点,若动点满足:,则的最大值为_.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.13. 已知为虚数单位,若复数为正实数,则实数的值为( )第14题图 14. 如图所示的几何体,其表面积
4、为,下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等,上部圆锥的母线长为,则该几何体的主视图的面积为 ( ) 15. 设是无穷等差数列的前项和(),则“存在”是“该数列公差”的 ( )充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件16. 已知,若,则对此不等式描叙正确的是 ( )若,则至少存在一个以为边长的等边三角形 若,则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形若,则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形若,则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. (本题满分14分)本题共有2个小题
5、,第1小题满分6分,第2小题满分8分ADBCA1B1C1D1E第17题图如图所示的正四棱柱的底面边长为,侧棱,点在棱上,且().(1)当时,求三棱锥的体积;(2)当异面直线与所成角的大小为时,求的值.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分 已知函数,.(1)若函数在区间上递增,求实数的取值范围;(2)若函数的图像关于点对称,且,求点的坐标.19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分某市为改善市民出行,大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通号线线路示意图如图所示.已知是东西方向主干道边两个景点,是南北方向主干道边两个景点,四
6、个景点距离城市中心均为,线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多,线路段上的任意一点到的距离都相等,线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多,以为原点建立平面直角坐标系.(1)求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程;(2)规划中的线路段上需建一站点到景点的距离最近,问如何设置站点的位置? 20. (本题满分16分)本题共有3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.定义在上的函数满足:对任意的实数,存在非零常数,都有成立.(1)若函数,求实数和的值;(2)当时,若,求函数在闭区间上的值域;(3)设函数的值域为,证明:函数为周期函数.21.(本题满分18分)本题共有3小题,
7、第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.若数列同时满足条件:存在互异的使得(为常数);当且时,对任意都有,则称数列为双底数列. (1)判断以下数列是否为双底数列(只需写出结论不必证明); ; ; (2)设,若数列是双底数列,求实数的值以及数列的前项和;(3)设,是否存在整数,使得数列为双底数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.普陀区2017学年第二学期高三数学质量调研评分标准(参考)一、填空题123456789101112二、选择题13141516三、解答题17.(1)由,得, 又正四棱柱,则平面,则 4分. 6分 (2)以为原点,射线、作轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系
8、(如图), 2分则,即, 4分又异面直线与所成角的大小为,则, 6分化简整理得,又,即. 8分18.(1),2分,4分当时,则,又函数在上递增,则,即,7分则实数的取值范围为. 8分(2)若函数的图像关于点对称,则, 2分即(),则,4分由得,则点的坐标为. 6分19.(1)因为线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多,所以线路段所在曲线是以定点,为左、右焦点的双曲线的左支,则其方程为, 3分因为线路段上的任意一点到的距离都相等,所以线路段所在曲线是以为圆心、以长为半径的圆,由线路段所在曲线方程可求得,则其方程为, 5分因为线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多,所以线路段所
9、在曲线是以定点、为上、下焦点的双曲线下支,则其方程为, 7分故线路示意图所在曲线的方程为. 8分(2)设,又,则,由(1)得,即,3分则,即当时,则站点的坐标为,可使到景点的距离最近.6分20(1)由得,对恒成立,即对恒成立,则,2分即. 4分(2)当时,2分当时,即,由得,则,3分当时,即,由得,则, 4分当时,即,由得, 5分综上得函数在闭区间上的值域为. 6分(3)(证法一)由函数的值域为得,的取值集合也为,当时,则,即.2分由得,则函数是以为周期的函数. 3分当时,则,即.5分即,则函数是以为周期的函数.故满足条件的函数为周期函数. 6分(证法二)由函数的值域为得,必存在,使得,当时,对,有,对,有,则不可能;当时,即,由的值域为得,必存在,使得,仿上证法同样得也不可能,则必有 ,以下同证法一.21. (1)是双底数列,不是双底数列;4分(2)数列当时递减,当时递增,由双底数列定义可知,解得,2分当时,数列成等差,当时, , 5分综上,.6分(3), , 2分若数列是双底数列,则有解(否则不是双底数列),即 ,3分得或或或故当时,当时,;当时,;当时,;从而 ,数列不是双底数列;同理可得:当时, ,数列不是双底数列;当时, ,数列是双底数列;当时, ,数列是双底数列;7分综上,存在整数或,使得数列为双底数列.8分- 11 -