第2章 信号的分析与处理

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1、机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-1第 2 章 信号的分析与处理学习目标1.掌握常用的信号时域、频域分析方法的基本原理和应用； 2.了解数字信号处理的基础知识，能够正确地选择采样频率和窗函数。 学习难点迭混和采样定理，泄漏与窗函数的关系。功率谱分析的原理和应用。快速傅里叶变换原理。内容概述 本章简要介绍了时域幅值参数的统计分析方法。主要叙述信号相关分析、功率谱分析的原理及应用。介绍相干分析、倒谱分析的概念和应用。说明数字信号处理的基本步骤，采样和加窗的原理和方法，快速傅里叶变换的原理。相关链接 兰勃特科有限公司 -设计和制造数据采集 、显示 、分析和处

2、理控制的软件。 奥普特姆电子有限公司 - 设计和制造数据采集和分析产品。 Nicolet oscilloscopes data acquisition transient recorders- data acquisition hardware、software B & K 公司 -高性能测试仪器。2.1 信号的时域分析信号的时域分析包括信号的均值、绝对均值、均方值、均方根值和方差以及幅值域的概率密度函数和概率分布函数 。2.1.1 特征值分析(1) 信号的均值x：对确定性的连续信号，x 表示信号 x(t)在 0T 时间内的中心趋势，也称x 为信号 x(t)的静态分量或直流 分量，表示为：（2

3、.1）机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-2在实际测试中，均值x 可以取样本在足够长时间内的积分平均作为其估计值，记作：对于离散信号，若 x(t)在 0T 时间内，离散点数为 N，离散值为 xn，则均值x 表示为：对于随机信号，均值应以总体平均，即数学期望来表示：对于平稳随机信号，由于其统计特征与时间起点无关，故其数学期望也与时间无关，则:对于各态历经平稳随机信号，可由其样本函数的时间平均值代替其总体平均，即式（2.1）。在均值计算时，为防止计算机溢出，常采用递推算法。N 项序列xn前 n 项的均值xn 的计算公式如下：式中，xn ,x(n-1)分别为第

4、 n 次计算和 n-1 次计算的均值。(2) 信号的绝对平均值|x|对于连续信号： （2.2）（2.3）（2.4）（2.5）（2.6）机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-3（2.7）对于离散信号： （2.8）对于简谐信号：x=0，而绝对平均值|x|0。(3) 信号的均方值x 2信号的均方值x 2反映信号的能量或强度， 表征信号 x(t)在 0T 时间内的平均能量，也称平均功率。对于连续信号:对于离散信号:对于随机信号:对于平稳随机信号，x 2与起点时间无关:对于各态历经随机信号，x 2 等于样本函数的均方值，即式（2.9）。N 项序列xn前 n项的均方值

5、n 2的递推算法公式如下：（2.9）（2.10）（2.11）（2.12）机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-4(4) 信号的均方根值 xrms信号的均方根值 xrms即为有效值，其表达式为： （2.14）(5) 信号的方差x 2信号的方差x 2 描述动态信号波动分量的大小，它是 x(t)偏离均值x 的平方的均值，表达式如下：对于确定性的连续信号：对于离散信号对于平稳随机信号：对于各态历经随机信号，其方差如式（2.15）所示。x 2的开方称为均方根差，又叫标准差。均方根差也描述信号的动态分量，表征信号偏离均值的分布情况，表示为N 项序列xn前 n 项的方差

6、 x 2的递推算法公式如下：（2.15）（2.16）（2.17）（2.18）（2.19）机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-52.1.2 概率密度函数分析及应用 概率密度函数的定义为： （2.21）上式对概率密度函数积分而得到概率，即: （2.22）P(x)即为概率分布函数。显然，对于任何随机信号有： （2.23）详细的说明可以查看这里.几种常见均值为零的随机信号的概率密度函数图 2.1 随机信号 x(t)的概率密度图 2.1 为一随机信号 x(t)的时间历程，幅值落在(x,x+x)区间的总时间为，当观测时间 T 趋于无穷大时，比例 T/Tx就是事件xx

7、1)分别为幅值小于 x1和大于 x1的概率。上式亦表明概率密度函数是概率分布函数的导数。概率密度函数 p(x)恒为实值非负函数。它给出随机信号沿幅值域分布的统计规律。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此判别信号的性质。时域信号的均值、均方根值、标准差等特征值与概率密度函数有着密切的关系，这里不加推导直接给出： 机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-7（2.24）（2.25）（2.26）几种典型信号的概率密度函数如下:1) 正弦波信号若正弦信号的表达式为: x=Asint 则有 dx=Acostdt，于是：则：所以：（2.27）与高斯噪声的概率密

8、度函数不同的是：在均值x 处 p(x)最小；在信号的最大、最小幅值处 p(x)最大。2) 正态分布随机信号的概率密度函数 正态分布又叫高斯分布，是概率密度函数中最重要的一种分布，应用十分广泛。大多数随机现象是由许多随机事件组成，它们的概率密度函数均是 近似或完全符合正态分布的，如窄带随机噪声完全符合正态分布，又称正态高斯噪声。正态随机信号的概率密度函数用下式表示:（2.28）式中x 为随机信号的均值， x 为随机信号的标准差。由式（2.28）可以得到： 在均值x 处的 p(x)最大，在信号的最大、最小幅值处 p(x)最小；x 越大，概率密度曲线越平坦。 图 2.3 为一维高斯概率密度曲线和概率

9、分布曲线。 机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-8由曲线可以看到：一维高斯概率密度曲线有以下特点：(1)单峰，峰在 x=x处，当x- 时，p(x)-0；(2)曲线以 x=x为对称轴；(3)x=xx为曲线的拐点；(4)x 值落在离x 为x、2 x 、3 x的概率分别为 0.68、0.95 和 0.997。即：（2.29）二维高斯概率密度函数 p(x1,x2)的图形在垂直于 x1,x2的面上投影都是高斯曲线，其表达式较为复杂，这里就不在列举了。3) 混有正弦波的高斯噪声的概率密度函数包含有正弦信号 s(t)=Ssin(2ft+)的随机信号 x(t)的表达式为

10、：x(t)=n(t)+s(t)式中:n(t)为零均值的高斯随机噪声，其标准差为 n；机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-9s(t)的标准差为 s。其概率密度函数表达式为：（2.30）图 2.4 为含有正弦波随机信号的概率密度函数图形，图中，R=(s/ n)2。对于不同的 R 值，p(x)有不同的图形。对于纯高斯噪声，R=0；对于正弦波，R=；对于含有正弦波的高斯噪声,00，则 Rxy()=xy。当x=y=0 时，Rxy()=0。 6) 两个不同频率的周期信号，其互相关为零。若两个不同频率的周期信号表达式为： 则:根据正余弦函数的正交性可知：Rxy()=0

11、，也就是两个不同频率的 周期信号是不相关的。7）两个同频率正余弦函数不相关。若两个同频率正余弦函数表达式为： 则:8）周期信号与随机信号的互相关函数为零。 由于随机信号 y(t+)在 t-t+时间内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数 x(t)无关，因此，Rxy()=0 。2. 互相关技术的工程应用 在测试技术中互相关技术得到了广泛地应用,如测量系统的延时、识别、提取混淆在噪声中的信号等。图 2.13 给出了互相关分析方法应用于工业噪声传递通道的分析和隔离的例子。更多的应用的例子如： 机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-16相关测速 工程中常用两个

12、间隔一定距离的传感器进行非接触测量运动物体的速度。图是非接触测定热轧钢带运动速度的示意图， 其测试系统由性能相同的两组光电池、透镜、可调延时器和相关器组成。当运动的热轧钢带表面的反射光经透镜聚焦在相距为 d 的两个光电池上时，反射光通过光电池转换为电信号，经可调延时器延时，再进行相关处理。当可调延时等于钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间时，互相关函数为最大值 。所测钢带的运动速度为 v=d/。 利用相关测速的原理，在汽车前后轴上放置传感器，可以测量汽车在冰面上行驶时，车轮滑动加滚动的车机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-17速；在船体底部前后一定距离

13、，安装 两套向水底发射、接受声纳的装置，可以测量航船的速度；在高炉输送煤粉的管道中，在相距一定距离安装两套电容式相关测速装置，可以测量煤粉的流动速度和单位时间内的输煤量。相关分析在故障诊断中的应用 图 2.12 中漏损处 k 为向两侧传播声响的声源。在两侧管道上分别放置传感器 1 和 2，因为放传感器的两点距漏损处不等远，所以漏油的音响传至两传感器就有时差 m，在互相关图上 m处，Rx1y2()有最大值。由 m可确定漏损处的位置。 式中 S 两传感器的中点至漏损处的距离； v 通过管道的传播速度。图 2.14 给出了复杂管路系统振动传递途径的识别示意图.机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自

14、动化专业 机械工程测试技术 讲义2-18相关分析的声学应用 2.3 信号的频域分析本节讲解信号的频域分析方法: 巴塞伐尔定理、功率谱密度函数、 相干函数和 倒谱分析。2.3.1 巴塞伐尔定理巴塞伐尔定理告诉我们：在时域中计算的信号总能量,等于在频域中计算的信号总能量。即: （2.45）式(2.45)又叫能量等式。设有下列傅里叶变换对：x1(t)X1(f) ，x2(t)X2(f)按照频域卷积定理有：x1(t)x2(t)X1(f)*X2(f) 即:机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-19令 f0=0 得: 又令 x1(t)=x2(t)=x(t)得: x(t)

15、是实函数，则 X(-f)=X*(f)，所以: （2.46）|X(f)|2 称为能谱,它是沿频率轴的能量分布密度。2.3.2 功率谱分析及其应用(1) 功率谱密度函数的定义随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅立叶变换，记为 Sx(f): （2.47）其逆变换为： （2.48）两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为: （2.49）其逆变换为： （2.50）机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义2-20由于 S(f)和 R（）之间是傅里叶变换对的关系，两者是唯一对应的 。 S(f)中包含着R()的全部信息。因为 Rx()为实偶函数， Sx(f

16、)亦为实偶函数。互相关函数 Rxy()并非偶函数，因此 Sxy(f)具有虚、实两部分，同样， Sxy(f)保留了 Rxy()的全部信息。(2) 功率谱密度函数的物理意义Sx(f)和 Sxy(f)是随机信号的频域描述函数。 Sx(f)表示信号的功率密度沿频率轴的分布，故又称 Sx(f)为功率谱密度函数。Sx(f) 和 Sxy(f)是随机信号的频域描述函数。因随机信号的积分不收敛，不满足狄里赫利条件，因此其傅立叶变换不存在，无法直接得到频谱。但均值 为零的随机信号的相关函数在 时是收敛的，即 ， 可满足傅里叶变换条件，根据傅里叶变换理论，自相关函数 Rx()是绝对可积的。对于式（2.48），当 =0 时，有: （2.51）根据相关函数的定义，当