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1、一、写出 时 Lagrange 插值基函数 的表达式；5n2()lx解： 01345222222()()xxl二、设 的函数值及导数值为： ，试求次数不)(fx 3110)(f,)(f,)(f超过 2 的插值多项式。解：因为若 在 上有三阶连续导数，已知 在 上两个互异)(f,ba)(xf,ba点 上的函数值 ， 和一阶导数值 ，则次数不超过二次的插10,x0x)(1f 1值多项式为201001120 120()()() ()xxxLf f fxx 并且插值余项为 201()(),)6Rxfab所以本题的插值多项式为2 22()()3()1Lxxx三、 的插值二次式 ，使得x)(xp2，计算
2、的近似值。15213,69122 )()(,)(p 45解： 0 (69)2)()()4xl x12151) ()5)(69)()28l269) ()169(5)()4xl x插值多项式为 21135()()25)(2)(12)69496884Lxx x 故 的近似值为152 1315(4)(4169)(52)(452)(1)(42)(1569)688L 2104968012.39675四、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线 210)(xaxyk1 2 3 4 5x-2 -1 0 1 2ky10 1 0 2 9解：取 ，()， ， ， ，由于 ，01xx22()x201()pax51i，
3、 ， ， ， ，51i5210i531i5413i51iy， ，从而可得法方程组为51ixy52179ixy 0125013479a解次方程组可得0.6a1.2.5a故所求二次拟和合曲线为 。20.61.yx五、设 是互不相同的节点， 是插值基函数，求证：对任何nxx,210 )(lik=0,1,2,n 下式成立： （1） （2）kinikxl)(00)(0 xlxini ki证明：(1) 令 （ ） ， 则 的 Lagrange 插值多项式为kf,12,n ()fx00()()()nkiiiiLxlfxl其中 为 Lagrange 插值基函数。,12,il 插值余项为 (1)1()-()()
4、!nnRnxfLnxfx其中 ， 在 之间.in+1i=001,nx由于 故 ，从而 ,()kfx(,2,)n ()nf()0Rx即 ), 故nL()(0,12,)0klxkni (2) 根据二项式展开定理有：00 0(-)()()()nnk knkjkj kjii ii jii ij jixlCxlxCxl (由(1)结论可得)(1)nkjjj iknj=0i=0l)00()(1)k nnkjj kjj jjCxCxA0(1)(-)nkkjkjjx六、 证明：若 则 在节点 处的 n 阶差商为,1)(aff01,x01201,()()n nxxa 证明：当 n=1 时，有0101 01,()
5、fffxx结论成立，假设当 n=k-1 时成立，对 n=k 有01212012 0,nnnffxfx 001112()()()()()n n nxaxaax 1 0n nx0()()axax所以对任何 n 上式都成立，证毕。七、已知函数 的数据如下： ， fy12,3,20fff 1475f（1）求 的三次 Lagrange 插值多项式及牛顿差商表和牛顿插值公式，xfy并写出截断误差表达式。（2）如果再增加一个节点 ，试利用（1）的结果，来求在新的条3f件下， 的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。xfy解：（1）Lagrange 插值多项式：320()2(5)11()2(5)(8
6、710)000lxxxxx321() ()(7)44xl 322(1)511() ()5(65)026lxxx323()() ()2()500xl3201230()()2()3()147()iiLnxlfllxllxx牛顿差商表：x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商0 21 3 12 12 9 45 147 45 9 13 -1 74 29 10 3牛顿差值多项式为：2()214(1)()nNxxxx截断误差为：(4)(25)fR()=！ (0,5)（2）牛顿差值多项式为： ()1(1)()3(1)2()nNxxxxx23485截断误差为：(5)1)(23)(5fxxRn(x)=！ (0,5)
7、八、若 在 上有三阶连续导数，已知 在 上两个互异点 上)(xf,ba)(xf,ba10,x的函数值 ， 和一阶导数值 ，试用插值方法导出 的表0f)(1xf 0 )(f达式为 )()()()()(2)( 120100110011 xRfxfxfxxf 其中 。),(,6)12bafxR九、求满足条件的埃尔米特（Hermite）插值多项式.十、求在区间 上，关于权函数 正交的多项式 。1,0 ()Wx )(,)(210xgx解：设 ， 0()gx1()gxa22()gxbc则由 得 1)0adA 30,-55a由 得 20(xbcx73c由 得 13-)5 168392b从而可得 105,-,
8、92ac故 201305()()()-1gxxgx十一.给定经验数据试用形如 （ 为常数 ）的经验公式来拟合。bxaey,0a解 对 两边取对数有 ，作变换 ，lnyabxlnYy，则有 ， ， ， ，为了求出 ， ，将数据lnAYAbx01x()1A转化为 ，从而有 ， ，(,)ixy(,)i (,)(.,629Y2,)(.5,176)xYi1 2y2 3i1 -1i1.00 1.25 1.50 1.75 2.005.10 5.79 6.53 7.45 8.463(,)(1.50,876)xY， ，由最小二乘法写出法方程组，由于425(,)(2.0,135)xY， ， ，501,i501,7
9、.ix5211,.87ix， ，故法方程组为：501,9.4iY511,4.2iiY7.9.0.58Ab解得 ， ， ，因此最小二乘拟合曲线为1.2A0.6b3.1ae0.56*7()xy十二、 试证函数系 中函数 线性无关0(),(),nxL01,(),()nxL的充要条件为 Gram 矩阵00101 101,(,),()(),(,),nnnnnG LL非奇异，即 。1det0n证明 对函数组 ，若有 ，则 线性,n 010ncc 01,n无关的充要条件为 .01c必要性：假设 ，则线性代数方程组 存在非零解向量，detnG 1nGC记之为 ，从而有01(,)TCc 010(,)(,)0Tn
10、cc 即有 10(,)nii由内积性质（1）可知 。这与 线性无关相矛盾。故0nic01,n。1det0nG 充分性 若 线性相关，则存在不全为零的数 ，使得01,n 01,nc01ncc用 与上式进行内积 则有()jx(,2,)jL0(,)0njiic即0(,)njiic(,12,)jnL故 是线性代数方程组 的非零解。从而齐次线性代数方程组有01,nc 10nGx非零解的充要条件为 ，这与 相矛盾，故假设不成立。det()1detn十三、试证明勒让德多项式系 在区间 上关于权函数 是正交(npx,()1x多项式系，即对任意 ，有 成立。()kj和 10 kj()21kjxpd 证明 不妨设 ，当 kj 时，按分部积分法有kj1 12()2()2(1)2(1)(1(.j kjxxdxxdx ()(2) ()1 1) !jkjj j kj1 12() 2()-(!()0j kjj jxxx 当 k=j 时，由于 12()20(x() sin)!1coskj kddtt- 令 （从而可见 kj 时有 12()2()(),(x102!kjkjkjpx dx -而 k=j 有。2 ()!(),(1)!2! 12kkkkx k
