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1、【要点点击】课程标准命题规律知识要点了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函
2、数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.【知识点展示】1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(
3、a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxn2时，它也是一个一次函数图象，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点(2,80),(4,72)在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-152=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为828=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同
4、学从t分钟开始接水，当02时,则824=4(分钟),与接水时间3分钟不符,所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题二二次函数模型的建立例2.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六份递增x%,八月份销售额比七月份递增x,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额为7000万元，则x的值是.分析：解决本题关键是挖掘已知中的等量关系，建立正确的数学模型。点评：本题适合二次函
5、数模型，如果合理地选择函数模型，应从实际出发，分析数据的发展情况，以寻找最优函数模型。 例3.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_。分析：本题是几何图形中面积模型，函数模型已知，关键是列出梯形面积与周长关系式，代入已知即得函数解析式。解：如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为xcm，则梯形的周长为，梯形的面积为：，所以，即：利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。点评：正确的求解本题关键是构造二次函数，即对解析式进行变形，然后利用配方法求得最小值。三指数、对数、幂函数模型例4小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时
6、，得到了下列一组数据：x（月份）23456y（元）140256531112130小明选择了模型，他的同学却认为模型更合适.（1）你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由;（2）试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？（参考数据 ） 分析：本题是图表信息题，需要数形结合综合考虑求解。解：（1）根据表格提供的数据，画出散点图。并画出函数及的图象。如图：观察发现，这些点基本上是落在函数图象上或附近。 因此用这一函数模型（2）当时，则有 （或解：当时， 答：大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元。 点评：本题函数图像是指数、幂函数模型，通过提供的数据代入图形验证
7、，确定哪个函数模型最好，在解决不等式时，利用指数、对数互为反函数关系求解。例5某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：对于每位销售人员，均以10万元为基数，若销售利润没超出这个基数，则可获得销售利润的5%的奖金；若销售利润超出这个基数（超出的部分是a万元），则可获得0.5+log3（a+2）万元的奖金记某位销售人员获得的奖金为y（单位：万元），其销售利润为x（单位：万元）（）写出这位销售人员获得的奖金y与其销售利润x之间的函数关系式；（）如果这位销售人员获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【分析】（）根据奖励方案，可得分段函数；（）确定x10，利用函数解析式，即可得到结论【解析
8、】：（）对于每位销售人员，均以10万元为基数，若销售利润没超出这个基数，则可获得销售利润的5%的奖金；若销售利润超出这个基数（超出的部分是a万元），则可获得0.5+log3（a+2）万元的奖金销售人员获得的奖金y满足：y=答：这位销售人员获得的奖金y与其销售利润x之间的函数关系式是y=（）由（），知y=当0x10时，y=0.05x0.53.5x100.5+log3（x8）=3.5解之，得x=35（万元）答：如果这位销售人员获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是35万元【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题解决第二问注意通过讨论确定在那一段函数，从而
9、代入解决问题。四（分段函数模型）例6有一块铁皮零件，其形状是由边长为30cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=8cm，BF=6cm，如图所示现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上设DM=xcm，矩形DMPN的面积为ycm2（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？【思路分析】（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上；20当点P在线段BA上，分别求解函数的解析式（2）利用（1）知，当0x2
10、4时，当24x30时，分别求解函数的最大值即可【解析】：（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上，即0x24时，y=30x；20当点P在线段BA上，即24x30时，由PQ：QA=BF：FA，得QA=40x于是，y=DMPM=DMEQ=62xx2所以，y=，定义域D=（0，30（2）由（1）知，当0x24时，0y720；当24x30时，y= =（x）2+，当且仅当x=时，等号成立因此，y的最大值为答：先在DE上截取线段DM=cm，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为cm2【点评】本题考查函数的实
11、际应用，函数的最值的求法，分段函数的解析式以及最值的求解，考查计算能力【达标测试题】一、夯实双基：1某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走完余下的路程如果用纵轴表示离单位的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中比较符合此人走法的是()【答案】.D【解析】：开始时d0减少的快，后来d0减少的慢故选D.2拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)1.06(0.50m1)，其中m0，m是大于或等于m的最小整数(如33，3.74，5.16)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为()(A)3.71元 (B)3.97元 (C)4.24元 (D)4.77元【答案】.C【解析】：由
12、题意知5.56，f(5.5)1.06(0.505.51)1.06(0.5061)4.24. 3. 某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利()A25元B20.5元C15元 D12.5元【答案】：D【解析】：九折出售时价格为100(125%)90%112.5元，此时每件还获利112.510012.5元4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()(A)3 (B)4 (C)6 (D)12【答案】A 5. 今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是()(A)ulog
