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1、1本科生课程设计（报告）题 目:球棒系统的建模及反馈控制设计 机械手终端执行器微机控制 姓 名: 栾蕾萍 李蕾 学 院: 工学院 专 业: 自动化 班 级: 自动化 112 学 号: 32211216 32211210 指 导教师: 李玉民 李永博 刘璎瑛 20 14 年 5 月 25 日2南京农业大学教务处制球棒系统的建模及反馈控制设计自动化专业学生 栾蕾萍 李蕾指导教师 李玉民 李永博 刘璎瑛 摘要：球棒系统是大学控制实验室里常见的实验设备，通常用来检验控制策略的效果，是控制理论研究中较为理想的试验手段。以典型多变量非线性系统球棒系统为研究对象,建立其数学模型,并用现代控制理论中的状态反馈
2、的方法设计该非线性系统的控制器。通过研究将系统在特殊情况下的状态反馈控制增益，设计具有合适极点的全维观测器，实现状态反馈，并且给出状态反馈增益和观测器增益。同时，利用数学工具 Matlab 仿真此过程,结果与表明状态反馈方法的有效性。关键词：球棒系统；状态反馈；线性系统；数学模型绪论 球棒系统是一个典型的多变量的非线性系统,是非线性控制理论的一个典型实验室课题，本文于现代控制理论基础上，利用数学工具 Matlab 仿真此过程,结果与表明状态反馈方法的有效性。1 背景及问题 1.1 结构示意图由刚性球和连杆臂构成的球棒系统，如下图所示。连杆在驱动力矩 作用下绕轴心点 做旋转运动。连杆的转角和刚性
3、球在连杆上的位置分别用 表示, 设刚性球的 r半径为 。当小球转动时 , 球的移动和棒的转动构成复合运动。R3图一 设计对象结构示意图1.2 控制系统模型及参数刚性球与机械臂的动态方程由下式描述：22 21(sin)co1bbbrrGJmRrJrJ选取刚性球的位移 和其速度 , 以及机械臂的转角 及其角速度 作为状态变量，令rr，可得系统的状态空间表达式：1234,TTxx1221432341241321(sin)cos0bbbxxGxJmRxxJmJy 设球棒系统各参数如下：。26220.5,.1,.,10,9.81/bmkgRmJkgJkgGms42.问题解决21 问题一将系统在平衡点x
4、=0处线性化,求线性系统模型；先求平衡点；令x=0，解得： 由题可知平衡点为x=0处，故 即12340eexmGx 0mG。0112342 2133244130,010010/ 4.1, 0bbxffxxGJRmAffxJ 2914,520149.5bBJ将球棒系统各参数带入得： 00014.2924.54.95x x 由于 ，根据稳定性判据，可知该开环系统()7.6.576eigAii是不稳定的。22 问题二利用状态反馈，将线性系统极点配置于 ，求出状态反馈控制增益，并12,j画出小球初始状态为 横杆角度为 和初始状态 , 横杆角度为0.3r30 0.3r时的仿真图像( )。30tx5432
5、61805yCx （1）.判断系统的能控性 ，230705cQBAB ()4cr 则系统达到满秩，根据能控性判据，该系统完全能控。 （2）期望的闭环特征多项式为：*()1)(2)()()fjjjj （3）.设 ，则状态反馈后系统的状态空间表达式为：uvkx()ABkv令反馈后系统的闭环特征多项式与期望的闭环特征多项式系数对应相等解得 ，即所求的状态反馈增益。0.49.30.6.12k则状态反馈后系统的状态空间表达式为：004.10.1784.2865x xv （a）用matlab实现小球初始状态为 横杆角度为 的仿真图像( )如图20.3r30txMatlab程序: A=0 1 0 0;0 0
6、 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0; B=0;0;0;50; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0; P=-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j; K=acker(A,B,P) A1=A-B*K u=0; G=ss(A1,B,C,D); x0=0.3 0 pi/6 0; y,t,x=initial(G,x0);6 plot(t,x)图 2 仿真图像（b）用 matlab 实现小球初始状态为 r=-0.3 横杆角度为 的仿真图像( )如30otx图 3。Matlab 程序: A=0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52
7、0 0 0; B=0;0;0;50; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0; P=-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j; K=acker(A,B,P) A1=A-B*K u=0; G=ss(A1,B,C,D); x0=-0.3 0 -pi/6 0; y,t,x=initial(G,x0); plot(t,x)7图 3 仿真图像图 42.3问题三设计具有合适极点的全维观测器，实现状态反馈，给出状态反馈增益和观测器增益，并画出小球初始状态为 ，横杆角度为 和初始状态 ，横杆角0.3300.3度为 时的仿真图像 ，以及观测器输出与系统状态差值图像 。30()tx ()te8令系统性
8、能指标： %5,1st则：214snets 0.691573n由 可知21,21Pj1,24.2Pj令另外两个极点为 3,45.Pj因为 ，所以满足主导极点配置的要求。56.24利用 Matlab 编程，求得： 3.57610.93821.57.601k状态方程为： 0104.291054.3876.35849.5x xv 状态反馈原理图如下：图5 状态反馈原理图其simulink模拟结构图如下：9图6 模拟结构图小球初始状态为 ，横杆角度为 时的仿真图0.330：()tx图7 仿真图小球初始状态为初始状态 ，横杆角度为 时的仿真图像 ：0.330()tx将x0=0.3,0,30,0改为x0=
9、-0.3,0,-30,0，其余不变。10图8 仿真图通过将图8和第二问的调整前的两个仿真图对比，可以发现系统的性能得到了很大的改善，超调量和调整时间大大减少了，和我们预设的性能值相吻合。2.4 观测器配置由于 可知系统能观，可进行全维观测器配置。4OrankQ() ()xAECxBuyAxBuECx 0 0 ()( ()(0)( )AECt AECtxexttext 倘若设法使(A-EC)的所有特征值都具有负实部，则有即 这意味着，若（A-EC）的特0()(limli )AECtttxextlimtx征值能任意选择，则误差 的变化过程就能被控制。若(A-EC)的所有特征值都具有小于 的负实部，
10、则 的所有分量将比 还要快的速(0)()xtxtte度趋近于0.故我们可以通过对(A-EC)的特征值的负实部进行控制从而达到控制 趋向 的()xt()xt速度的目的。假定t=1s时， 。通过对 进行绘图，我们发现()xtttye当t=1s时， 。图示如下：5tye0y11图9故我们取特征值实部在-5左右。令 。1,23,456eie利用matlab编程可求：解得： 122.07.408183,4.7951.3EE可知带状态反馈的全维状态观测器的状态方程为： x xABKBvEC 010004.2.5178.4.176.358.0.2201830.4. .321748.9.358.x v带状态反
11、馈的全维状态观测器原理图如下：12图10 全维状态原理图带状态反馈的全维状态观测器simlink模拟结构图如下：图11 全维状态simlink原理图由观测器的作用，故取观测器初始状态均为零。小球初始状态为 横杆角度为 仿真图像 ：0.330()txSimlink仿真图：和 ， 和 的值图如下：1x3x13图12 仿真图13xx和 的 差 值 图 如 下 ：图13 差值图小球初始状态为 横杆角度为 仿真图像 ：0.330()txSimlink仿真图：和 ， 和 的值图如下：1x3x14图1413xx和 的 差 值 图 如 下 ：图15 差值图3 感想及结论通过这次实习，我们对现代控制理论有了更深入的了解。由分析知，球棒系统是稳定的，最后稳定时球棒的重心重合，各状态均为零。通过对于实验中给出的三个问题15的解决，在我们重新配置极点后系统的动态性能指标得到改善，观测器输出与系统状态差值最后趋近于零，全维状态观测器能够很好的反映原系统的状态，实现了预期功能。实际的模型控制中,会有一些不确定因素干扰,控制起来有些困难。附录 simulink 文件（文件夹 32211216 32211210）
