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3、一计算曲线积分 其中 是圆 上从原点Lxdy,L)0(22yx到 的一段弧。)0,(O),2(A本题以下采用多种方法进行计算。解 1： 的方程为 由 由,2,xyL,AOx,20.12dxdyLxdx02)1( dxdx20202 )1()(.4分析：解 1 是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种.x解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解 2：在弧 上取 点，AO)1,(B的方程为 由 由B,2yxyL,BOy,10.2dydx的方程为 由 由A,1,2,A,.2
4、Lxdy dyydyy 0121022 )1()(鸣智网络 WWW.MZWEBSITE.COM DBFQ NLP WWW.PXSGJW.COM FBFG 笑话百科 WWW.3835.COM DBFQ 网址大全 WWW.HAO974.COM DBFQ 祝福语 WWW.ZHUFU5.COM DBFQ 百度影音 WWW.ZFVOD.CC DBFQ 佳人影院 WWW.JRVOD.COM DBFQ 嫁接睫毛 YZ4U.COM DBFQ 安卓软件 WWW.96755.CN DBFQ安卓软件 WWW.96755.CN DBFQ 山东煤炭 WWW.LZCBC.CN DBFQ 绿色软件 WWW.DOWNCC.C
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6、需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。解 3： 的参数方程为 由 由 AO ,sin,co1yxL,ABO,0.s,sindydxLy ds)(i02 d2cos0.)sin1i(0解 4： 的极坐标方程为 因此参数方程为AO,cos2r由 由 ,cos2rx inidyL,ABO,02.)si(,in22dLxyd inco4cos8 2202 .0)13(4cos3420 d分析：解 3 和解 4 仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解 5：添加辅助线段
7、，利用格林公式求解。因AO,xQyP于是,01yPxQAOLDdxyxd,而 y02,鸣智网络 WWW.MZWEBSITE.COM DBFQ NLP WWW.PXSGJW.COM FBFG 笑话百科 WWW.3835.COM DBFQ 网址大全 WWW.HAO974.COM DBFQ 祝福语 WWW.ZHUFU5.COM DBFQ 百度影音 WWW.ZFVOD.CC DBFQ 佳人影院 WWW.JRVOD.COM DBFQ 嫁接睫毛 YZ4U.COM DBFQ 安卓软件 WWW.96755.CN DBFQ安卓软件 WWW.96755.CN DBFQ 山东煤炭 WWW.LZCBC.CN DBFQ
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9、 必须在,补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。 是 的正向边界曲线。L解 5 中添加了辅助线段 使曲线 为正向封闭曲线。,AOAL解 6：由于 于是此积分与路径无关，故xQyP,1yPLxdyOAd.0)0,2( 20dxx分析：由于 在闭区域 上应具有一阶连续偏导数，且在 内,DD,yPxQ因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在 上的L积分为在 上积分，注意 点对应 的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段AL作为新的积分路径，可使原积分得到简化。解 7：由全微分公式 ),(xydyxLdyx.0)()0,2),2(,分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出
10、。例二计算曲线积分 其中 是曲线Cdzyxzdxyz,)()()( C从 轴正向往 轴负向看 的方向是顺时针的。,212zyx解 1：设 表示平面 上以曲线 为边界的曲面，其中 的正侧2zyxL与 的正向一致，即 是下侧曲面， 在 面上的投影区域 ：LxoyxyD由斯托克斯公式.2yx鸣智网络 WWW.MZWEBSITE.COM DBFQ NLP WWW.PXSGJW.COM FBFG 笑话百科 WWW.3835.COM DBFQ 网址大全 WWW.HAO974.COM DBFQ 祝福语 WWW.ZHUFU5.COM DBFQ 百度影音 WWW.ZFVOD.CC DBFQ 佳人影院 WWW.J
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12、z)()()( yxzyxdzxyD.22解 2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出Cdzyxzdxyz)()()( dSyxzyxcoscos,)cos20(S而平面 ： 的法向量向下，故取zyx ,1n于是上式,31cos .2)(3212dxydSyx分析：以上解 1 和解 2 都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。在利用斯托克斯公式 计算dzRQyPxRQPzyxzL 时首先应验证函数 在曲面 连同边界 上具有一阶连续的偏导数，且RQP,的正向与 的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。L解 3：将积分曲线用参数方
13、程表示，将此曲线积分化为定积分。设则 从,cosx,iny ,sinco2yxz .02Cdzd)()()( cos)icssinco20d)o)(i(s 20 2cscs鸣智网络 WWW.MZWEBSITE.COM DBFQ NLP WWW.PXSGJW.COM FBFG 笑话百科 WWW.3835.COM DBFQ 网址大全 WWW.HAO974.COM DBFQ 祝福语 WWW.ZHUFU5.COM DBFQ 百度影音 WWW.ZFVOD.CC DBFQ 佳人影院 WWW.JRVOD.COM DBFQ 嫁接睫毛 YZ4U.COM DBFQ 安卓软件 WWW.96755.CN DBFQ安卓
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15、变，而且第一类曲线,积分与弧的方向无关，故有 .3)(31222222 dsRzyxdszydsx由曲线 是球面 上的大圆周曲线，其长为 故R.342)(2dsyx由于 关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 于是.0dsz.34)2(2Rdszyx解 2：利用在 上， ，22zyx原式 zdsds2)(2再由对称性可得 （同解 1） ，于是Rdsz232上式 .3402R分析：以上解 1 解 2 利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。例四求 其中 为椭圆曲线 上在上半平面内从,2LyxdL19)(2yx的弧。)0,4(),2(BA解：添加辅助线 为 的顺时针方向的上半圆周以及有向线段l22yx，其中 是足够小的正数，使曲线 包含在椭圆曲线DC, 2yx内。由于 19)(2yx
