《量子力学辅导刚要2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学辅导刚要2（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、量子力学辅导纲要（2）第 5 章 表象理论主要内容：1数学准备：矢量空间及其的定义。么正变换。2学会由抽象的一般表达式过渡到具体表象的方法，特别是用狄拉克符号统一地给出各种表象及各种表象间的变换。深刻地理解到各种表象能等同地处理量子力学中的问题，由此加深对波函数物理意义的理解。要点：1. 各种表象的等同性，波函数及算符表象的计算。2么正矩阵元的物理意义及计算，各种表象间的变换。3 、 及 意义的正确理解，波函数及算符具体表象的表达式及其变换。4对完备性公式 深刻理解和熟练运用。1n重点掌握：1. 1 态函数的表象设 是坐标表象中的任意一个归一化的波函数，(,)xt。 nFuf()nct将 按
2、顺序排成一列矩阵，就得到了状态波函数在 表象中的表示()nt F。 (1)12()nctt这时，两个态矢量的内积可写为 (2)(,)()(,)ndrtctd如果 的本征值 是连续谱 ，则对本征值谱的求和要化为积分，并且只能想象 是一Ff 列矩阵，而不能写出。如果 在坐标表象中是归一化的，则在 表象中也是归一化的。即，F。 (3)()(,)1nctdrt这里是由我们熟悉的坐标表象导出任一力学量 的表象，但这不是必须的。F12 算符的矩阵表示 设在坐标表象中已知：， (4)(,)()nnFrpuar， (5),Att， ， (6)(,)()jjrbr(,)()jjrtctur这里 是任意态矢量。算
3、符 在力学量 表象中的形式是,t AF121212 kkkAA (7)(8)(),()ijijAdurpr方程(5)变为 (9)()ijibtc量子力学中的力学量算符是厄米的，则(10)*,ijjiAA满足(10)的矩阵称为厄米矩阵。可见，厄米算符对应的是厄米矩阵。 力学量算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵，对角元就是其本征值。(11)1200nfFf 13 典型公式的矩阵表示算符方程就是（9） ，写成矩阵形式(12)1211 122 21 () () () () kkkkkAct btt t 本征方程 算符 的本征方程是算符方程的一个特例，F(13)1211212- 0,- nknnnkkkA
4、ac 线性齐次方程有解的条件是其系数行列式为零，即 （14)121212- 0,- nkkknAa 方程（14)的根就是算符 的本征值。将根 代入(13)就可求得相应的A,12,ia本征函数。薛定諤方程 设力学量算符 不含 ，在 表象中薛定諤方程的矩阵形式为Ft(15) )( )( )( )(di 2121221121 tctcHtctc kkkkk平均值公式 在 表象中，有F(16)()At21 狄拉克符号1完备性关系 对于分立谱。 (17)1n对于连续谱，则求和化为积分。例如，坐标和动量表象下的完备性关系分别， 。 (18)d1xdp称为完备性关系。这是一个非常有用的公式 2由狄拉克符号得
5、到具体表象设力学量 的正交归一完备本征矢为 ，则在 表象中，任意态矢 可FnF以向 的本征矢展开(19)nc(20)nc态矢 在 表象中的波函数是F(21)12 kcc 设算符 的作用是将态矢 变成态矢 ，A， (22)A(19)及(22)式中的算符及态矢量都是与任何表象无关的、抽象的算符及态矢量。(22)在具体的 表象中写出就得到F(23)nnmbAa式中， (24) ,nbnanmA及 分别是在 表象中 及 的矩阵元， 是算符 在 表象中的矩阵元。对于naF nF连续谱，求和要化为积分。在 表象下， 在态矢 与 之间的矩阵元 可写为，AA(25)*mnba21 表象变换基底的变换及么正变换
6、将态矢量及算符从一个表象变换到另一个表象，称为表象变换。各种表象都是等同的，可以互相变换。设厄米算符 和 的正交归一完备本征矢系分别为 和 。它们都可以作FGmfig为态矢量空间的基底。将基底 向 展开，有nfig(26)ni inf U其中，(27)iningf以 为矩阵元的矩阵 是将 变换为 的变换矩阵。将(26)用矩阵形式写inUigf出，有。 121121212(,), nniiiinUffg (28)由(27)及(28)可看出，矩阵 的第 列元素就是 的本征矢 向 本征矢 的UnFnfGig展开系数，或说是 向 的投影。由这一性质可以方便的写出矩阵 。矩阵 满nfig U足， 。 (
7、29)II具有 及 性质的矩阵称为幺正矩阵。U22 态矢量及算符的变换设有任意一个态矢 ，将其分别向两个基底作展开，得到 nnii iifafgbg同一个态矢在两个表象中分量之间的关系是(30)*()nnii inniaffgUbb写成矩阵形式为(31)()()FGU任一力学量 在 和 表象中的矩阵元分别为A(32)()FmnnAfAf(33)()Gijijg利用么正矩阵 可得力学量 在 和 表象中的矩阵元的变换关系。 UAF(34)()()FGA由(31)、(34)的逆变换是(35)()(),GF(36)()().AU23 么正变换的性质1正变换下，态矢量的内积不变。2么正变换下，厄米算符的
8、厄米性及其本征值不变。3么正变换保持矩阵的迹不变。4么正变换保持对易关系不变。3常用表象及其变换1坐标表象算符 的本征值为 。考虑到 ，在自身表象x x()xx中， 的矩阵元为， (37)()xxxx这里 是行指标， 是列指标。 是对角矩阵。 对波函数（一列矩阵）的xxxx作用（矩阵相乘，求和化为积分）是。 (38 )()()d可见，在自身表象中， 对波函数的作用简化为用其本征值乘这个态矢相应的分量，正x如我们所熟悉的那样。这个性质对于其它力学量表象也成立，因为力学量在其自身表象中必是对角的。坐标表象中动量算符的矩阵元是(39) ()xpxi这一算符对波函数作用为。 ()()()dxixixi
9、 (40)即，在坐标表象中，动量算符对波函数作用简化为对波函数的微商。在坐标表象中，作为 函数的算符的矩阵形式可由 的矩阵相乘得到。,xp,xp动量表象动量算符本征值为 ，在动量表象中容易得到。 (41)()nnnppp(42) ndxi能量表象能量本征值谱可能分立，也可能连续。这里以一维谐振子为例说明能量表象。已知， 。1()2nHEnnnmmHE由此可得。 (43)(1)(1)mnmnx(44)(1)(1) .22nnpni 第 6 章 中心力场主要内容：1 A. 用无穷级数法求解微分方程。B. 无穷级数收敛判别法。C. 典型数学物理方程求解。D. 的边界条件。E. 分离变量法0r深刻理解
10、二体问题化为单体问题的方法。2通过解决重要的氢原子问题，理解、掌握量子力学解决问题的方法，理解中心力场的根本特征。3要点：1分立变量法；2二体问题化为单体问题；3奇点（ ）分析；0r4无穷级数解截断多项式的必要性；5认真理解和掌握解的物理意义， 的意义。,nlm重点掌握： 在量子力学中，中心力场中的问题很重要。库仑（Coulomb）场、各向同性谐振子场、无限深球方势阱都是有重要物理意义的能精确求解的问题。1中心立场的共同特征中心力场问题的共同特征是，222(),0.iiLrVrHLm （1）即角动量守恒。径向方程 在中心力场中，质量为 的粒子满足的定态薛定谔方程是m。 2 221()()LrV
11、rErr (2) 中心力场力学量完备集可选为 。 (2)可用分离变量法求解。令2,zHL (3)(,)(,)lmrRrY(4)2221d()0EVrRr(5)(,),).lmlmL(5)本征函数 就是球谐函数，且lY(6),210 ),1(ll(6)式与势能的形式无关，是中心力场的共同特征，因此，对于一个具体的中心力场而言，只要求解方程(5)即可。若令(7)ruR)()(则(4)式变为2 2d()(1)() lVrurEm(8)此即中心力场的径向方程。在 处，为了使径向波函数 是有限的， 应该满足0r )(rR)(ru(9)0称之为零点条件。只有解(10)10)(limlrru满足要求。径向方程(4)含有角动量量子数 ，但不含磁量子数 ，因而能量本征值与径向波函数lm可能与 有关，但必不能与磁量子数 有关。因此能级简并度至少是 。对于非束缚l (21)l态，能级是连续的；对于束缚态，能级是分立的。 2 氢原子21 两体问题化为单体问题氢原子的电子与原子核之间的相互作用库仑势为(11)rerV2)(式中， 为电子与原子核之间的相对距离。r氢原子是一个两体体系，描述这样体系的波函数应该是 ，其中， 与12(,)r1r分别是电子和原子核的坐标变量。定态薛定谔方程为2r(12)21121212()(,)(,)TVrrErm
