《线性方程组的结构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组的结构（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4 线性方程组解的结构,4.4.1. 齐次线性方程组 4.4.2. 非齐次线性方程组,4.4.1 齐次线性方程组,即 AX = 0,齐次线性方程组解的性质：,AX = 0 的解向量的线性组合仍为 AX = 0的解.,证,A(k11+ k22+ + kss),= A(k11) + A(k22)+ + A(kss ),= k1A1 + k2A2 + + ksAs,= k1 0 + k2 0 + + ks0 = 0.,性质 若 1, 2, , s 为 AX = 0 的解，则 k11+ k22+ + kss 也是 AX = 0 的解.,对于加法和数乘运算是封闭的，,一个齐次方程组的全体解向量组成的
2、集合：,W = XRn | AX = 0,因此为Rn 的子空间,W 称为 AX = 0 的 解空间.,W的任一组基称为 AX = 0的一个基础解系,1, 2, , s 是 AX = 0 的基础解系的充要条件：,2o AX = 0 的任一解向量均可由 1, 2, , s 线性表出；,1o 1, 2, , s 是 AX = 0 的一组解;,3o 1, 2, , s 线性无关.,AX = 0 仅有 0 解时有基础解系吗？,齐次线性方程组的通解,例 求齐次线性方程组,解,由此即得,的通解.,是基础解系,线性方程组基础解系的求法,设齐次线性方程组 AX = 0，R(A) = r，,现对 取下列 组数：,
3、得,从而求得原方程组的 个解：,则 是齐次线性方程组的基础解系,解空间的基础解系不是唯一的.,注:,定理 设齐次线性方程组 AX = 0 的系数矩阵的秩R(A) = r n，则方程组 AX = 0 有基础解系且基础解系所含向量个数为n r，即 dimW = n r，这里n为方程组未知数个数.,解线性方程组,解,例,为基础解系,得,故原方程组的通解为,例 设,分析,求一个42的矩阵B,使AB=0,且R(B)=2.,问题转为求齐次方程,的2个线性无关的解,解,解齐次方程,令,即为2个线性无关的解，,为基础解系,即可.,与 AX = 0 基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系,证,证明
4、：,证明：,例：,4.4.2 非齐次线性方程组,向量表示,何时无解? 何时有唯一解?,何时有无穷多解?,问题,定理 设 A = (1, 2, , n)，则下列命题等价：,1o bL(1, 2, , n);,2o AX = b 有解;,3o,证明,A(1 - 2 ),= A1 - A2,= b b = 0,定义 称 AX = 0 为 AX = b 的导出组.,非齐次线性方程组解的性质：,证明,A( + ),= A + A ,= b + 0 = b,非齐次方程组的全体解向量组成的集合，,对于加法和数乘运算不是封闭的，,因此不是一个向量空间,(b) 为导出组 AX=0 的基础解系，,则非齐次方程组
5、AX=b 的任意解 X 有,(a)设 为非齐次方程组AX=b的任意一个特解,所以非齐次方程组的解的结构为：,导出组的通解 + 非齐次方程组的一个特解,求解方程组,解,例,例 设有线性方程组,解,(1) = 1时，,有无穷多解,得同解方程组 x1 = 1- x2 x3,非齐次特解： 0 =(1, 0, 0)T,原方程组通解：X = 0 + k1 1 + k2 2 , k1 , k2 R,导出组基础解系： 1 =(-1, 1, 0)T, 2 =(-1, 0, 1)T,(2) = - 2时，,无解,(3) 1, - 2时，,有惟一解：,例,非齐次方程的特解,例,导出组的基础解系,例,系数矩阵A的秩等于,的秩，证明上述方程组有解.,证,又,故,1.,证,例,已知四元齐次方程组,另一四元齐次方程组 的通解为,2.,，,解,小 结,2齐次线性方程组基础解系的求法,1齐线性方程组解的情况,3非齐线性方程组解的情况,4非齐次线性方程组解的结构,
