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1、- 1 -近世代数试卷（时间 120 分钟）题号 一 二 三 四 总分得分得 分 评卷人 复查人一、填空题（共 20 分，每空 2 分）1. 在对称群 S4 中， （134） （12） ， （2143） 1 。2. 在多项式环 Z11x中， （6x2 ） 11 。3. 设 G（a）是 6 阶循环群，则 G 的非平凡子群的个数是 。4. 在模 6 的剩余环 Z6 中，方程 x21 的所有根为 。5. 环 Z10 的所有零因子是 。6. 设 A、B 是集合，| A |3，| B |2，则共可定义 个从 A 到 B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。得 分 评卷人 复查人二、判断题（对
2、 打 “ ”， 错 打 “”， 每 小 题 2 分 ， 共 20 分 ）1. （ ）循环群的子群是循环群。2. （ ）若 H1、H 2 都是群 G 的子群，则 H1H 2 也是群 G 的子群。3. （ ）交换群的子群是不变子群。4. （ ）一个阶是 11 的群只有两个子群。5. （ ）模 15 的剩余类环 Z15 是域。6. （ ）无零因子环的同态象无零因子。7. （ ）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。8. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9. （ ）整除关系是整环 R 的元素间的一个等价关系。10. （ ）域是主理想整环。姓 名：_专业： 班级： 学号：_-密-封-线- 2
3、-得 分 评卷人 复查人三、解答题（第 1 小 题 15 分 ， 第 2、 3 小 题 各 10 分 ， 共 35 分 ）1. 设 H（ 1） ， （13） 是对称群 S3 的子群，求 H 的所有左陪集和所有右陪集，试问 H 是否是 S3 的不变子群？为什么？2. 求模 18 的剩余类环 Z18 的所有理想。- 3 -3. 在整数环 Z 中，求由 2004，125 生成的理想（2004，125） 。得 分 评卷人 复查人四、证明题（ 第 1、 2 小 题 各 10 分 ， 第 3 小 题 5 分 ， 共 25 分）1. 设是整数集 Z 上的模 6 同余关系，试证明是 Z 上的等价关系，并求所有等价类。- 4 -2. 设 H1 和 H2 分别是群（G， ，e）的子群，并且| H1 |m，| H2 | n，m、n 有限，（m，n）1，试证：H 1H 2e 。3. 证明，设 S 是环（R，0，1）的子环，N 是 R 的理想，且 SN0 ，则剩余类环 RN 有子环与 S 同构。
