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1、第 O 章绪论一、教学设计1教学内容：数值计算方法这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。2重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3教学目标：了解数值计算方法的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。4教学方法：介绍与讨论二、教学过程1。1 引论1课程简介：数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析
2、”，其包含的内容属于计算数学的一个部分。2历史沿革：数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。直到 20 世纪 40 年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢，作用也比较有限。3计算方法的形成：20 世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。如：天气预报计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学”开始形成并迅速发展。4作用与意义：科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三
3、大方法。这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。5计算方法的任务：将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。例： ，!21nxxex hxyy)()针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式。例：解线性方程组，已有 Cram 法则，但不可行。(几十万年)误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。6计算机数值方法的研究对象：(与科学计算有关的数学问题是多种多样的，最基本类型有：)利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下：实际问题构造数学模型设计数值计算方法程序设计上机求出结果回到实际问题。数学模型举例：例 1：鸡兔同笼：（共 10 只，34 只
4、脚）导致方程组；例 2：曲边梯形的面积。相应地，本课程主要研究的数值问题有：函数的插值与逼近方法；微分与积分计算方法；线性方程组与非线性方程组计算方法；微分方程数值解等。7主要特点既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术性。 （要求先掌握基本数学知识，以及计算机的基本操作）8学习目的：学习一些常用的数值方法，掌握数值方法的基本理论，为进一步研究新算法奠定基础。初步掌握一种软件包：Mathematic,Matlab 等的使用方法。9参考书目：1袁蔚平等编.计算方法与实习.南京 ：东南大学出版社,2000 年 7 月2李庆杨等编.数值分析 .武汉：华中工学
5、院出版社,1982 年 1 月3葛福生编.数值计算方法.南京 ：河海大学出版社,1996 年 4 月1。2 数值问题与数值算法1数值问题：指输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。例：求二次方程 的根，可算作一个数值问题；求常微分方程02cbxa的解，却不能称作数值问题，需离散化。0)(,3yx2数值方法：求解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。例 1：Cram 法则，Gauss 消去法例 2：求根公式 ac242,1 acbdaSQRTbx4,2)(22,1 3数值算法：指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它的前提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四个特性：目的
6、性；确定性；可执行性；有穷性。(有别于常规的思维)算法设计的目的：可靠性好、计算精度高；计算复杂性好；为程序设计作准备。4算法设计及其表达法表达方法：自然语言法和图示法。例：通过二次方程求根的例子，说明数值方法与数值算法的区别，并演示算法常用的表达方法之一：自然语言法（图示法不加介绍） 。(首先要选择数值方法：公式法或迭代法)主要步骤：（阅读课本后，要求自己解释）1输入数据 cba,2若 怎样？（若 ， ，否则）00bcx13若 ，计算 ，aD42 )(DSQRT若 怎样？（ ）1若 怎样？（ ）0aibx2,若 怎样？4输出 21,x2 误差2-1 误差的基本概念1误差来源及种类：模型误差（
7、忽略次要因素）观测误差（测量工具的限制）截断误差（有限代替无限，如 Taylor 展开）舍入误差（计算机字长位数有限） ，主要讨论。2举例说明误差分析的重要性：计算 。),210(10ndxeIn递推公式（A）： ， ； ， ；1nnII6321059.01nnII6321.0递推公式（B）： ，/)(1 823I计算 。,01dxeIn递推公式（A）： ， ； ， ；1nnII.0 1nnII.0递推公式（B）： ，/)(1 8123562I，或 ，01101 maxmi deIdxennx Ien故 ，取中值即得79.48627.52320I计算结果见表n In(A) In(A) In(B
8、) In0 0.632120559 0.6321 0.632120559 0.63212055881 0.367879441 0.3679 0.367879441 0.36787944122 0.264241118 0.2642 0.264241118 0.26424111773 0.207276646 0.2074 0.207276647 0.2072766474 0.170893416 0.1704 0.170893412 0.17089341195 0.14553292 0.1480 0.14553294 0.14553294066 0.12680248 0.1120 0.1268023
9、566 0.12680235667 0.11238264 0.2160 0.112383504 0.11238350418 0.10093888 -0.7280 0.1009319674 0.10093196749 0.09155008 7.552 0.091612293 0.09161229310 0.0844991999 -74.52 0.0838770701 0.0838770701411 0.0705088012 820.7 0.0773522289 0.0773522289612 0.153894386 -9848 0.0717732536 0.0717732538913 -1.00
10、062702 12802 0.0669477026 0.0669477031714 0.0627321641 0.062732163915 0.0590175384 0.0590175408816 0.0557193850 0.055719345917 0.0527704553 0.052771119118 0.0501318045 0.0501198549619 0.0474957147 0.047722755820 0.0325685581 0.0455448841计算结果见表，差之毫厘，失之千里，试分析其中原因（误差被放大或缩小） 。3定义 3.1设 为准确值， 为 的一个近似值，称 为
11、近似值 的绝对误差，*xx* xe*简称误差。（绝对）误差限 ： ，或e*x例： 510,25y4定义 3.2近似值 的误差与准确值 之比 ，称为近似值 的相对误x*xerx差。（相对）误差限 ： 。rrrxe*但实际中常以下式计算： ，相应地 。r xr*例： ；510,25yx例：已知 ，其近似值为 ，求 的绝对误差限 和相对8217.e 2871.*e*e误差限 。*r考察常用的四舍五入(为什么要四舍五入？ ) 所引起的误差，不超过某一位数字的半个单位（个位为 1，十位为 10，）5定义 3.3如果 的误差绝对值不超过某一位数字的半个单位，若该位数字到 的第*x *x一位非零数字共有 位
12、，则称用 近似 时具有 位有效数字，简称 有 位有效数字。n*xn*n例： 分别具有 6,5 位有效数字。56.3,4.*如何描述有效数字？（一般情况下在计算机中数往往规格化，故有必要考察规格化数。 ）6定义 3.4如果 （其中 ）是 的近似值，且满足不等式nkax21*.001x，则称 有 位有效数字。nkx10.* *例：设 ，它的两个近似值 和 分别有 3,4 位有效数字。9.*1x.*2一般地，有效数字位数多，相对误差小，但上例例外。下面讨论相对误差与有效数字的关系。7定理 3.1设 （其中 ）是 的近似值， （1）如果 有nkax21*.001x*x位有效数字，则 的相对误差限为 ；
13、（2）若 的相对误差限为n*nrE*，则 至少有 位有效数字。11*)(2nraE*x例：设（1） ， （2） ，分别求 的有效数98.,6.x 01.,4.1*2x*21,x字位数与相对误差限。 （用此例说明定理 3.1 的不唯一）例：要使 的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？（ 4 位，4.472）0（用定理 3.1 的（1）来解，但并不能保证最好的结果：例： ，2,3,4 位有效数字都可5以使相对误差小于 0.1%）例：已知 作为 的近似值有 位有效数字，问 作为 的近似值有几位有效数字？*xn*/1x/3-2 数值运算的误差估计（不加证明）1 （可先讲一元的）设给定多
14、元函数 ，且设 为),(21nfA*2*1,nx的近似值，以 作为 的近似值，其误差分析可利用nx,2 ,*2*1nxf ATaylor 展开，其绝对误差 ni iin ni iiinnxExf xxfffAE1* 1*21*21)(,( )(),(),(,) 绝对误差限为： )(,*1*iniinxf相对误差为： ni iriini iir xEAxfAEfA1*1* )(),(,)() 或： ni irinniinr fxxfEA1 *1* ,)(,( 相对误差限为：)(),()(,()() *1*1* irni iinni iinr xAxfAxxfA 或 )(),()(,()() *1
15、*1* irniinni iinr fxf 2基本运算的误差（1） ， ，xyf),( )()(yEyE)()(yExrrr（2） ， ，/2x/r（3） ， ，f),( )()(yxyxErrr（4） ， ，（5） ，f)( )(21)(Errnxf)()()(xnErr例：见书本 P28，T10，应用以上理论作分析。3浮点数运算的误差设 ，而机器字长为 ，则在机器中 121.0tnax t tna21*.0不同阶的数在运算时，需对阶，这也会导致误差。例：在只有四位字长的机器上作下列运算，结果如何？ 1000+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+(11 项)(Matlab: digits(4);x=vpa(0.1),1000+x+x.) 0.1+0.1+0.1+0.1+1000（以下略）记为 ，其绝对误差和相对误差分别为tnaxfl21.0)(相对误差只与机器字长有关)10,1ttnE四则运算的误差在一定条件下有以下误差估计：， ， ，)()(2,1yxfl )1()(3yxfl
