《计算机数学基础(2)--函数插值(02-11)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机数学基础(2)--函数插值(02-11)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1计算机数学基础(2)辅导)第 11 章 函数插值与最小二乘拟合(2002 级( 秋季)用) 中央电大 冯 泰第 11 章 函数插值与最小二乘拟合一、重点内容函数插值已知函数 f(x)的函数值 yk=f(xk),k=0,1,2,n构造一个多项式 P(x)，使得 P(xk)=yk.f(x)P(x) P(x)称插值多项式，f (x)是被插函数，x k 是插值节点误差 R(x)=f(x)P(x).拉格朗日插值多项式用 n 次多项式 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=kxl0)(逼近函数 f(x)，即 f(x)Pn(x)，且满足 Pn(xk)=yk(k=0,1,2,n).其中
2、基函数(k=0,1,2,，n).(). 1110 nkkkkki xxl 当 n=1 时，线性插值 P1(x)=y0 l0(x)+y1l1(x)其中基函数, 0xl)l当 n=2 时，就是二次插值，.二次多项式 P2(x)=yk1 lk1 +yklk+yk+1lk+1其中基函数)()111 kkkxxlk)()111 kkk xxxl 拉格朗日插值多项式的余项为()!()(nfPfRnnn 其中 ，),ba ).)(2101 nxxx注意：过 n+1 个互异节点，所得插 值多项式应该是次数不超 过 n 的多项式均差与牛顿插值多项式函数值之差与自变量之差的商就是均差一阶均差 xffxf )(),
3、(二阶均差 x), n 阶均差 nnnxxffxxf 02110210 ),.(),.(),.(均差有两条常用性质：(1)均差用函数值 yk 的线性组合表示；即2f(x0,x1,x2,xn)= k nkkkk xxxxy0 1110 ).()().(2)均差与插值节点顺序无关( 对称性).n 阶均差与导数的关系为： ),(!),.()(210 banff 以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式，为Nn(x)= f(x0)f(x 0,x1)(xx 0)f(x 0,x1,x2)(xx 0)(xx 1)f(x 0,x1,x2,xn)(xx 0)(xx 1)(xx 2)(xx n 1) 牛顿插值多
4、项式的余项为Rn(x)=f(x)N n(x)=f(x,x0,x1,x2,xn)(xx 0)(xx 1)(xx 2)(xx n1 )(xx n)= )(.分段线性插值用分点 a=x03)，则均差 f(x3,x0,x4)f(x4,x0,x3)(C) 过 n+1 个互异节点的拉格朗日插值多项式一定是 n 次多项式(D) 三次样条函数 S(x)在每个子区间上是不超过 3 次的多项式11. 分段线性插值就是将函数 f(x)的定义域 a,b用分点 a=x0,x1,xn=b 分割，求一个函数 P(x)在 a,b上连续且在每个子区间 xk,xk+1上线性的，还要满足 12. 用直线 y=a0+a1x 拟合数据
5、(x 1,y1), (x2,y2), (xn,yn)，确定参数 a0, a1 的最小二乘法a0,a1 满足的法方程组是913. 求过三个点 (0,1), (1,2), (2,3)的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式14. 试推导线性拟合常数 a1, a0 和二次拟合常数 a2,a1,a0 满足的法方程组.15. 已知函数值 f(0)=6，f(1)=10 ，f (3)=46，f (4)=82， f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差 f(4，1 ，3) 16. 测得(x,y) 的五对数据如下：(19.1,76.30), (25.0,77.80),(30.1,79.2
6、5),(36.0,80.80),(40.0,80.25)试用这组数据求关于 x 与 y 的拟合直线计算过程中保留 3 位小数. 四、练习题答案1. C 2. ,3. D 4. C 5. 2.4 6. )(3)(21100xx7. C 8. nkky129. A 10. A 11. P(xk)=f(xk),k=0,1,2,n 12. inini ii yxaxa1201)()(13. 拉格朗日插值多项式：x+1x0=0,y0=1, x1=1,y1=2, x2=2,y2=3；f (x0,x1)=1，f(x 1,x2)=1； f(x0,x1，x 2)=0，于是牛顿插值多项式：N(x)=f (x0)+f(x0,x1)(xx 0)+ f(x0,x1,x2)(xx 0)(xx 1)1(x0)=x +114. 见教材有关的公式推导15. f(0,1,3,4,6)= ， f(4, 1, 3)=6 516. y=70.739+0.285x
