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1、第5章 正弦稳态电路分析,2. 正弦量的相量表示,3. 电路定理的相量形式；,重点：,1. 正弦量的表示、相位差；,正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。,5.1 正弦电流和电压,5.1.1 正弦量的三要素,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+),波形：,周期T (period)和频率f (frequency) :,频率f ：每秒重复变化的次数。,周期T ：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im,(2) 角频率(angular frequency)w,正弦量的三要素,i,0,T,(3
2、) 初相位(initial phase angle) ,2,t,单位： rad/s ，弧度 / 秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点。,i(t)=Imcos(w t+),一般规定：| | 。,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,例,已知正弦电流波形如图，103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点之后,注意：若距纵轴最近的最大值在计时零之前，则初相位为正值； 若距纵轴最近的最大值在计时零之后，则初相位为负值.,例5.1-1,已知正弦电流 i(t) 的振幅 Im=100mA
3、, 初相角= -600, 周期 T = 2ms，试写出i(t) 的函数表达式（用cos表示），并绘出它的波形。,解,由已知条件求出正弦电流i(t)的三要素,振幅,Im=100 mA,角频率,初相位,= -600 = -/3,所以,mA,波形图如图所示：,5.1.2 相位差,设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i),则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i,j 0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；, j 0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
4、,等于初相位之差,规定： | | (180)。,相位差：两个同频率正弦量的相位之差。,j 0， 同相：,j = (180o ) ，反相：,特殊相位关系：,= p/2，正交： u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,例,计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,注意： 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,例,已知正弦量为：,解,其中,试比较i1与i2 , i1与u3间的相位关系。,i1超前i2,i1超前u3,5.1.3 有效值,周期性电流、电
5、压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值定义,有效值也称均方根值,物理意义,同样，可定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos( t+ ),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V， Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效
6、值的符号。,注,复数A的表示形式,A=a+jb,5.2 正弦量的相量表示,1. 复数及运算,两种表示法的关系：,或,复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2,图解法,(2) 乘除运算采用极坐标形式,除法：模相除，角相减。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,则:,解,例2.,(3) 旋转因子：,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,解,故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子,i1,i1+i2
7、 i3,i2,角频率： 有效值： 初相位：,两个正弦量的相加,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，,2. 正弦量的相量表示,i3,实际是变换的思想,正弦量的相量表示,造一个复函数,对A(t)取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。,A(t)还可以写成,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,称 为正弦量 i(t) 对应的相量。,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1,试用相量表示i, u .,
8、解,在复平面上用向量表示相量的图,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,相量图,【例5.2-1】 试写出下列各电压的相量 , 并画出相量图。,【解】,(2) 由于本书用相量表示cos函数, 所以应先把表达式中的 sin 函数化为cos 函数, 将它改写为,画出相量图:,【解】,【例5.2-2】 写出正弦量 的时域形式,所以时域可写为：,【解】,【例5.2-4】已知正弦电流 ， ; 写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图， 并求出 。,正弦电流 的相量为,正弦电流 的相量为,画出相量图:,所以有,3. 相量法的应用,(1) 同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,
9、可得其相量关系为：,例,也可借助相量图计算,首尾相接,2 . 正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；,5.3 电路定律的相量形式,1. 电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,5.3.1 电路中基本元件的相量形式,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,2. 电感元件VCR的相量形
10、式,相量图：,电压超前电流900,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；,(2) 感抗和频率成正比；,相量表达式:,XL= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=1/ L =1/2fL， 感纳，单位为 S,感抗和感纳:,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,3. 电容元件VCR的相量形式,相量图：,电流超前电压900,XC=1/w C， 称为容抗，单位为 (欧姆) B C = w C， 称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比, 0， |XC| 直流开路(隔直) w ，|XC|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳：,相量表达式:,【解】,电压振幅相量,【例5.3-1】 将
11、正弦电压 加到C=1000uF的电容上，求流过该电容的正弦稳态电流。,由电容元件VCR有,对应的正弦稳态电流为,5.3.2 基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,例1,试判断下列表达式的正、误：,L,例2,已知电流表读数：,解,例3,解,例4,解,例5,解,例6,图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。,解,也可以画相量图计算,令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部,
