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1、1对 定 积 分 应 用 的 理 解 和 认 识定 积 分 的 正 式 名 称 是 黎 曼 积 分 ， 用 黎 曼 自 己 的 话 来 说 定 积 分 就 是 求 函 数 f(X)在 区 间 a,b中 图 线 下 包 围 的 面 积 。 即 由 y=0, x=a ,x=b, y=f(X)所 围 成 图 形 的 面 积 。定 积 分 是 把 函 数 在 某 个 区 间 上 的 图 象 a,b分 成 n份 ， 用 平 行 于 y轴 的 直线 把 其 分 割 成 无 数 个 矩 形 ， 再 求 当 n + 时 所 有 这 些 矩 形 面 积 的 和 。 习 惯 上， 我 们 用 等 差 级 数 分
2、点 ， 即 相 邻 两 端 点 的 间 距 x是 相 等 的 。 但 是 必 须 指 出， 即 使 x不 相 等 ， 积 分 值 仍 然 相 同 。 我 们 假 设 这 些 “矩 形 面 积 和 S=f(x1)x1+f(x2) x2+fx(n-1) x(n-1),那 么 当 n + 时 ， x的 最 大 值 趋 于 0， 所 以 所 有 的 x趋 于 0， 所 以 S仍 然趋 于 积 分 值 .一 、 定 积 分 的 理 解1.定积分的性质设 在所讨论的区间上都是可积的，则有xgf,性质1 线性 为 常 数dxgdxfdxxf bababa dxgfAbaba且性质2 区间可加性 都 成 立或
3、或不 论 ccdxfxfdxfbccaba 性质3 保号性若 0,0ffba则 有且性质4 不等式若 dxgxfbxgxf baba则 有,性质5 绝对值不等式 dfba 性质6 估值不等式 则 有上 的 最 小 值 和 最 大 值 ，在分 别 为和即 baxfMmbxxfm,adfab22.积分中值定理若 (x)在a,b上连续，则至少存在一点 a,b，使 abfdxfba3.定积分的换元法 cxfAdxfAdxg )()()( baba ba baxAFd|)( 注：1.用凑微分法尽量不要引入新的变量 ,否则积分上下限要改变 .2.用凑微分时不变积分基本公式一定要熟CtFdttfdtxf 易
4、 积 出令 . 条件：x=(t)具有连续的导数(t) 1. tdtfdtxfba 令条件：（1）()= a，()=b ，（2 ）x=(x)具有连续的导数(t)且a(t)b(t) 4.定积分的分部积分法 xduvxudvx.条件：u=u（ x），v=v（x）在a，b上具有连续导数注：u （ x）v （x）上不要忘记写上 ba5利用简化定积分计算的公式（）奇偶函数在关于原点对称区间上的积分设（）在，上可积，则有 图 示是 奇 函 数 ，当 是 偶 函 数 ，当xffddxfaa,0,2（）. wallis公式3 为 偶 数 ，当 为 奇 数 ，当 nnxdxdnn ,2.1,31,.,2cos1s
5、i2020 注wallis公式在计算， 上正弦或余弦函数高次方的积分非常方便。2（）.周期函数的积分设（）是一个以为周期的可积函数，则有 dxfxfTTa0二 、 定 积 分 的 应 用1.在 数 学 中 的 应 用平面图形的面积（1 ）直角坐标系下平面图形的面积（2 ）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 drdA2)(1所求曲边扇形的面积 .2旋转体由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)(2dxfdV所求旋转体的体积 .ba平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面
6、积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dxAV4所求立体的体积 .)(badxAV2.在物理学中的应用变力做功在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为 WFS“以常代变”，功的微元应该通过恒力做功公式得到的物体质量对于密度均匀的物体的质量 或 、 ，这时密度是lmAmV常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法液体压力液面下 深处水平放置的面积为 的薄板承受的液体压力 可以由压强乘以面积hAP得到，即 ，其中 为液体密度，压强 是个常量（匀压强）Pggh3.在 经 济 学 中 的 应 用利用定积分求原经济函数问题在经济管理中,
7、由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数u( x ) 的边际函数为 ,则有)(xudxuux)()0(利用定积分由变化率求总量问题5如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。利用定积分求经济函数的最大值和最小值利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给
8、就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P= 与P= , )(1f)(1Qg此时函数P= 也称为需求函数, 而P= 也称为供给函数。)(1f需求曲线(函数) P= 与供给曲线(函数) P= 的交点A( P* , 1f )(1QgQ* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P= 购买某商品并情
9、愿支付, Q* 为均衡商品量, )(1Qf则在 Q, Q+ 内消费者消费量近似为 , 故消费者的总消费量为Qf)(1,它是需求曲线P= 在 与dQf)(*01 )(1fQ*之间的曲边梯形OQ* 的面积, 如图1Ap如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为*0)(*QpdfQ6它是曲边三角形 的面积。1*AP如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价出售该商品 , 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。)(1QgP同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, 是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额, d*01)(故生产者剩余为 QgP)(*01*它是曲边三角形 的面积。*0Ap利用定积分决定广告策略问题利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值y= 。dtefrT0)(2011年12月12日
