1,第九章 重 积 分,一元函数积分学,多元函数积分学,重 积 分,曲线积分,曲面积分,,,二重积分的定义及计算,三重积分的定义及计算,重积分的应用,,2,一、二重积分的定义及计算,1.定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,,在D上的二重积分.,积分和,,,,,,是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,,则称,称为积分变量,3,说明：,表示一个确定的数值，,它只与,有关，,积分变量所使,用的字母无关，,即,(1),定义中和式的极限,必存在，,即二重积分必存在.,平面薄片的质量为：,4,（4）二重积分的几何意义,即,当被积函数大于零时，,当被积函数小于零时，,二重积分,二重积分是柱体的体积．,特殊地：,若在D上,,则,D的面积,是柱体的体积的负值.,？,5,则面积元素为：,,（5）直角坐标系下的面积元素,如果 在D上可积,,也常,二重积分记作：,这时,分区域D ,,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作：,？,6,性质１,(k为常数),性质２,(二重积分与定积分有类似的性质),2. 二重积分的性质,性质３,性质４,若 为D的面积，,性质５,若在D上,则有,7,性质6,（二重积分中值定理）,(二重积分估值不等式),设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值,和最小值，,为D的面积，,则,性质7,设函数f(x,y)在闭区域D上连续，,为D的面积，,则在D上至少存在一点,使得,8,例1. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有:,9,3. 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化,计算二重积分.,10,注意:,11,例2.(2005),解:,由轮换对称性，有,12,4. 二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,［Y－型］,［X－型］,★如果积分区域为：,★如果积分区域为：,外限定限方法------投影法,内限定限方法--平行线穿越法,,,,,,13,5.二重积分在极坐标系下的计算公式,14,说明：,(1)何时用极坐标？,(2)应掌握化极坐标系下的二重积分为二次积分.,定限方法----射线穿越法：,15,6. 计算二重积分的步骤及注意事项,• 画出积分域,• 选择坐标系,• 确定积分序,• 写出积分限,• 计算要简便,区域边界应尽量多为坐标线.,被积函数关于坐标变量易分离.,积分域分块要少.,累次积分好算为妙(首先内积分易积).,(充分利用对称性，几何意义和性质等),,,,“平行线穿越法”,“射线穿越法”,16,解:,例3.,如图,则,,x,y,o,1,,,,,,1,,,,17,例4.,计算,其中D是由,所围的区域.,解:,,,x=y+2,(4,2),(1,-1),区域D的图形如右阴影部分，,解方程组,得交点坐标为(1,-1),(4,2),,则D：,于是,,18,,解: 直接用对称性.,,,x,o,y,-1,1,1,,y=x,,,,19,例6. 计算二重积分,其中积分区域为,,,1,1,解: 如图，记,于是,20,例7. 计算二重积分,其中D 是由曲线,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,,,形心坐标,21,例8.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,改变积分次序的一般步骤：,(1)由二次积分将区域D用不等式组表示;,(2)由上面不等式组作出D的图形；,(3)改写成另一形式即可.,,22,例9.,将,表示为极坐标下的累次积分,,,,解:,在极坐标系下,,Ｄ可表示为：,于是 原式,23,例10. 设f(x)连续,则,等于,2006,Ｄ可表示为：,,,解:,24,二、三重积分的定义及计算,说明：,(3)在直角坐标系中：,于是，,三重积分记为：,其中,叫做直角坐标系中的体积元素.,25,可推广到三重积分上面.,二重积分的相关术语及性质，,26,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1、“先一后二”,方法2、“先二后一”,又叫“投影法”,又叫“截面法”,27,定限方法：,的射线穿越闭区域,出口面的方程为,则z的范围为：,“投影法”,3.写出三重积分的累次积分形式,注意:,28,外限定限方法------投影法,内限定限方法---平行线穿越法,29,截面法的定限方法:,,,,,,,30,2. 利用柱坐标计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为:,设Ｍ(x,y,z)为空间内一点，,并设点Ｍ在xoy面上的投,影Ｐ的极坐标为,,,(1)柱面坐标的定义：,,圆柱面；,,半平面；,,平 面．,=常数,=常数,=常数,坐标面分别为:,31,在柱面坐标系中体积元素为,因此,实际上就是把“先一后二”中的“二”用极坐标计算.,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,32,,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系:,,,,,,,,坐标面分别为:,常数,常数,常数,(1)球面坐标的定义：,33,在球面坐标系中体积元素为,因此有,注意：球面坐标适用范围:, 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,34,,例1.,计算三重积分,，其中,为三个坐标面,所围成的闭区域.,及平面,解:,35,例2. 利用柱面坐标计算三重积分,其中,解:,(1) 画 图,(2) 确定 z，ρ， 的上下限,将 向 xoy 面投影，得,用极坐标表示为,过 (ρ, )∈D 做平行于 z 轴的直线,得,,,,36,即,于是,另解,用截面法：,37,结论1,补充：利用对称性化简三重积分计算,38,如果积分区域 关于平面 对称（轮换对称性）,特别地,则,注： 关于 对称，即 互换， 保持不变.,结论2,39,例3.,解:,,,利用对称性,40,例4. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,解:,,（利用对称性）,,（用球坐标）,41,三、重积分的应用,问题：满足什么条件的量可用重积分解决？,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,,分布在有界闭域上的整体量,2. 用重积分解决问题的方法,-----元素法,42,元素法的步骤：,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,,43,1. 几何方面：,（1）面积,平面域D的面积,曲面面积公式,设光滑曲面,（2）立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,44,解:,=？,,45,面积为,46,例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,,,,,47,质量, 质心,转动惯量,引力,2. 物理方面：,48,则得：,则薄片的质心坐标为：,,49,,例3.,解:,50,古鲁金第二定理：,平面有界闭区域D绕该平面内不与它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于D的面积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积.,证明：用元素法,如图，取D绕x轴旋转，取一个小区域,,,旋转体的体积为：,由于D的形心坐标为：,故,51,(3) 转动惯量,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,52,得：,53,54,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,,则,球体的质量,,例4.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,,(用球坐标),55,,,,,,,56,,G 为引力常数,推广到空间立体 ：,设物体占有空间区域 ,,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,,其密度函数,,,,,,,,,,,,。