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1、人教版八年级数学(上),11.3.1角平分线的性质（1）,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,情境问题,已知： (如图) 求作： 的角平分线OC.,1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。,2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在AOB内部交于点C。,3、作射线OC，射线OC即为所求。,作法：,证明:连结MC,NC由作法知:,1平分平角AOB 2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到
2、过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,实践应用(1),探究角平分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB
3、于点E 求证: PD=PE,探究角平分线的性质,(3)验证猜想,角平分线上的点到角两边的距离相等。,(4)得到角平分线的性质：,利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言）,角平分线的性质,定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1= 2,PD OA ，PE OB PD=PE.,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,图1,1：下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（ ）,图1,选择题：,2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）,图1,图1,图2,思考： 要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离
4、公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）,s,公路,铁路,解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。,D,C,s,公路,铁路,如图：在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,实践应用(2),分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件,DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.,试试自己写证明。你一定行！,证明: AD平分C, D是AD上一点（已知）,如图：在ABC中，C
5、=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,DEAB,DCAC（已知）,在RTCDF和RTBDE 中 BD=DF （已知） DC=DE（已证）,RT CDFRTFDB (HL),CFB（全等三角形对应边相等）,DCD(角平分线的性质）,1.如图，OC是AOB的平分线， PD=PE,PDOA，PEOB,2.如图,在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE= CM.,E,D,C,B,A,4,3.在RtABC中，BD平分ABC， DEAB于E，则： 图中相等的线段有 ;相等的角有： 。 哪条线段与DE相等？为什么？ 若AB10，BC8，AC6， 求BE，AE的长和AED的周长。,BE=BC,DE=DC,ABD= CBD,BED= AED= C,6,8,10,回味无穷,2.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,1：画一个已知角的角平分线；,及画一条已知直线的垂线；,
