高考数学计算试题分类汇编20——数列

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1、知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 1 页共 29 页2010 年高考数学试题分类汇编数列（2010 上海文数）21.(本题满分 14分)本题共有 2个小题，第一个小题满分 6分，第 2个小题满分 8分。已知数列 na的前项和为 nS，且 5na， *N(1)证明： 1是等比数列；(2)求数列 nS的通项公式，并求出使得 1nS成立的最小正整数 n.解析：(1) 当 n1 时，a 114；当 n2时，a nSnSn15an5an11，所以5()6na，又 a11150，所以数列a n1是等比数列；(2) 由(1)知：156n，得156nna，从而157906

2、nS(nN*)；由 Sn1Sn，得125n， 562log14.9，最小正整数 n15（2010 湖南文数）20.（本小题满分 13 分）给出下面的数表序列：其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5， 2n-1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n（n 3 ）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12 ，记此数列为nb求和： 324121nb 知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

3、邮箱：第 2 页共 29 页知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 3 页共 29 页（2010 全国卷 2理数）（18）（本小题满分 12分）已知数列 na的前项和 2()3nnSA（）求 limn；（）证明： 1223naa 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 1()2nnsa的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 4 页共 29 页【点评】2010 年高考数学全国 I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作

4、为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.（2010 陕西文数）16.（本小题满分 12分）已知 an是公差不为零的等差数列， a11，且 a1， a3， a9成等比数列.（）求数列 an的通项; （）求数列2 an的前 n项和 Sn.解（）由题设知公差 d0，由 a11， a1， a3， a9成等比数列得 2d 8，解得 d1， d0（舍去），故

5、an的通项 an1+（ n1）1 n.知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 5 页共 29 页()由（）知 2ma=2n，由等比数列前 n项和公式得Sm=2+22+23+2n= (1)=2n+1-2.（2010 全国卷 2 文数）（18）（本小题满分 12分）已知 na是各项均为正数的等比数列，且1212()， 34534516()aa（）求 n的通项公式；（）设 2()nnba，求数列 nb的前项和 nT。【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于 1与 d的方程求得 1a与 d，可求得数列的通项公式。（

6、2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。（2010 江西理数）22. （本小题满分 14分）证明以下命题：（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得 22abc，，成等差数列。（2）存在无穷多个互不相似的三角形 n，其边长 nn，，为正整数且22nnabc，，成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证 22acb，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值 1,57满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 a 均能成立。结

7、合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当 22nnbc，，成等差数列，则 22nnbacb，分解得： ()()na选取关于 n的一个多项式， 241做两种途径的分解2 241()24(1)知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 6 页共 29 页对比目标式，构造21(4)nabnc，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数 m，n，若 m， n相似：则三边对应成比例22211n，由比例的性质得： nn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。（

8、2010 安徽文数）（21）（本小题满分 13 分)设 12,nC 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x轴的正半轴上，且都与直线3yx相切，对每一个正整数 n,圆 C都与圆 1n相互外切，以 nr表示的半径，已知 nr为递增数列.()证明：为等比数列；（）设 1r，求数列 nr的前项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设 nC的圆心为 (,0)n，得 2nr，同理得12nr，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 n中与的关系，证明 nr为等比数

9、列；（ 2）利用（1）的结论求 nr的通项公式，代入数列 nr，然后用错位相减法求和.知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 7 页共 29 页nnn n+1+1n+1n n11nn n12331,si,2r1r22rr3qrr3*3r.rxC解：（）将直线 y=的倾斜角记为 ,则有 ta=设的圆心为（， 0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，，故，从而，记 S21n1121n 11,r*3.*3()3.3*()

10、,93923*()424nnnnnn nnnS则有 ,得2S【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项 na与 1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前 n 项和 nS乘以公比，然后错位相减解决.（2010 重庆文数）（16）（本小题满分 13分，（）小问 6分，（）小问 7分. ）已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列， nS为 a的前项和.（）求通项及 nS；（）设 nb是首项为 1，公比为 3的

11、等比数列，求数列 nb的通项公式及其前n项和 T.知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 8 页共 29 页（2010 浙江文数）（19）（本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 56+15=0。（）若 5=5，求 6及 a1；（）求 d 的取值范围。（2010 重庆理数）（21）（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II ）小问 7 分）在数列 na中， 1=1， 112*nnacN，其中实数 0c。（I）求的通项公式；（II）若对一切 *kN有 21kz，求 c

12、的取值范围。知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 9 页共 29 页知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 10 页共 29 页知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 11 页共 29 页（2010 山东文数）（18）（本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足： 37， 5726a.na的前 n 项和为 nS.（）求及 S；（）令 21nba（ nN）,求数列 nb的前 n 项和 nT.知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 12 页共 29 页（2010 北京

13、文数）（16）（本小题共 13分）已知 |na为等差数列，且 36a， 0。（）求 |的通项公式；（）若等差数列 |nb满足 18， 2123ba，求 |nb的前 n项和公式解：（）设等差数列 a的公差 d。因为 36,0所以 125ad 解得 10,2ad所以 0()nn（）设等比数列 b的公比为 q因为 21234,8ab所以 8q 即 =3所以 nb的前项和公式为 1()4(3)nnnqS（2010 北京理数）（20）（本小题共 13分）知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：第 13 页共 29 页已知集合 121|(,),0,2()n nSXxxi

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