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1、专题三、解析几何中 的 定量 问题 一、定量问题的思想方法 思想方法：定量问题包括定点，定值，定角，定直线， 定面积 等等。小题可以特殊化、极端化猜测得出，大 题则一般可以先猜再证。 能力要求 ： （ 1）会猜 特殊化，极端化 （ 2）会证 设方程（直线通常为 y=kx+b或 x=my+n) 联立方程组得关键方程 转化几何条件建立代数关系 利用韦达定理建立等式，统一参数字母 求出定量 二、定点问题 例 1、抛物线 （ 1）过原点 作两条互相垂直的弦 ，则直线 过定点为 )0(22 ppxyOBOA,ABOO A B 解析：小题猜测：根据对称性，定点肯定在 x轴上， 再取 ，易得 猜测定点 xy
2、OA : pxAB 2: )0,2( p证：证明方法很多，这里略举几种， 后面的例题通法为主。 (一 )抛物线类 思路 1：设直线 AB(2字母 ) O A B 代入抛物线得关键方程 (2字母 ) OA OB统一字母 (1字母 ) 得定点 O A B 法 1：设 水平显然不适合）ABamyxAB (: ),(),( 2211 yxByxA022222 pap m yypxyamyx由0022084212122apayypmyypamp有0)(0 21112121 yyamyamyyyxxOBOA0)()1( 221212 ayyamyympaapmampam 20)2()2)(1( 22 )0
3、,2(2: ppmyxAB 过定点思路 2：设直线 OA， OB(1字母 ) O A B 代入抛物线解得 A,B点 得直线 AB方程 (1字母 ) 得定点 O A B 法 2： )2(12: 22 pkxkkpkyAB )0,2( pAB 过定点)0(1: kkxkyOBkxyOA 存在且显然设)2,2(2 22 kpkpApxykxy由 )2,2(2 pkpkB 同理21 kkkAB 332 222 pkkxpkpkyky 0)2(2 ypxkyk思路 3：设点 A， B(4字母 ) O A B 代入抛物线消掉 2字母 得直线 AB方程 (2字母 ) 得定点 OA OB统一字母 (1字母 )
4、 O A B 法 3：设 ,221 yypkAB ),(),( 2211 yxByxA04 )(0 2122112121 yypyyyyxxOBOA)(2: 1211 xxyypyyAB 2121211112122)(2yyyyypxpxyxxyypy21212yyyypxy221 4 pyy )0,2()2(2:21pyy pxpyAB 过定点规律：直线 (曲线 )过定点问题实质是方程与动量 (变量 )无关，这里的变量要合理选取，如 斜率、截距、坐标 等。在处理过程中，可以统一成 一个变量 ，或统一成某个 变量整体结构 去解决问题。 （ 2）过任意一点 作两条互相垂直的弦 ， 则直线 过定点
5、为 ),( 00 yxP PBPA,AB解析：小题猜测：极端性，当 水平时 此时 在无穷远处， ，直线 所以定点纵坐标为 O A B P PAA ),(00 yxB 0: yyAB 0y当 竖直时，设为 ， 代入抛物线方程， AB tx)2,(),2,( pttBpttA 0)2)(2()( 0020 yptyptxtPBPA0)(2)(02)( 0202020 txpxtptyxtpxt 20 ),2( 00 ypx 猜测定点为 思路 1：设直线点 PA， PB(1字母 ) 代入抛物线得 A,B坐标 得直线 AB方程 (1字母 ) 得定点 O A B P 法 1： O A B P ,221
6、yypkAB ),(),( 2211 yxByxA设202102210201)(4122yyyypyyyypyypPBPA)(2: 1211 xxyypyyAB 2121211112122)(2yyyyypxpxyxxyypy2121212yyyyyypxy思路 1：设点 A， B(4字母 ) 代入抛物线消掉 2字母 得直线 AB方程 (2字母 ) 得定点 PA PB统一字母 (1字母 ) O A B P 法 1： O A B P ,221 yypkAB ),(),( 2211 yxByxA设202102210201)(4122yyyypyyyypyypPBPA)(2: 1211 xxyypy
7、yAB 2121211112122)(2yyyyypxpxyxxyypy2121212yyyyyypxy2102102002120221)2(224242:yyxpxpyypxppxyyyyyypyypxyAB),2( 00 ypxAB 过定点思路 2：设直线 AB(2字母 ) 代入抛物线得关键方程 k1k2=-1统一字母 代直线 AB方程 (1字母） 得定点 O A B P 法 2： ),(),(,(:2211 yxByxAABamyxAB 不水平）显然设 022222 pap m yypxyamyx由084 22 pamppayypmyy2221211221102010202010121
8、yypyypxxyyxxyykk22021021 4)( pyyyyyy pxmyappxpmypa 24222 00200 ),2(2: 0000 ypxpxmymyxEF 过定点解析：小题猜测：极端性，当 水平时， 此时 ，所以定点纵坐标为 1、过原点 作抛物线 两条弦 ， 倾斜角分别为 ， (1)若 ，则直线 过定点为 OBOA,O045,ABOB),2,2( ppA pyAB 2: 当 时， ， 所以定点为 的交点。 BA 05.22xyOA :p2lAB 变为切线lpy 与2跟踪练习 )0(22 ppxy证：设 )(: 水平显然不适合ABamyxAB ),(),( 2211 yxBy
9、xA022222 pap m yypxyamyx由payypmyypamp22084212122有210 2t a n,2t a n45ypyp 22121 4)(2:1)t a n ( pyyyyp 整理得代入pmpappapmp 22422.2 2 )2(222: pympxpmpmyxAB )2,2( ppAB 过定点(2)若 ，则直线 过定点为 090 AB解析 ： ，证明思路：注意 无意义， 则 )0,2( p )ta n( 221 40t a nt a n10)c o t ( pyy papapyy 224 221 )0,2(2: ppmyxAB 过定点(3)若 ，则直线 过定点为
10、 ),0( AB证：设 水平显然不适合）ABamyxAB (: ),(),( 2211 yxByxA022222 pap m yypxyamyx由payypmyypamp22084212122有212t a n,2t a nypyp )0,2()4(2 pAB 过定点时，由 t a nt a nt a n1 t a nt a nt a n)t a n (2 时，t a n22t a n422.2t a n4)(2t a n221222221212121pmpappapmppyyyypypypypyp)t a n2,2()t a n2(2t a n22:pppympxpmpmyxAB过定点(4)
11、过准线上任意一点 作两条切线 ，切点为 ，则直线 过定点为 PABPBPA,BA,解析 ： ，特殊化猜测。 )0,2( p证：设 O A B P ),(),(),2( 2211 yxByxAtpP )2(:)(11pxyptyAPypAykAP )2(:2pxyptyBP 同理 分别满足切线又 BA ,2)2(211111ptypxpxypty 2222ptypx 同理:AB所以直线 )0,2(22 pptypx 过定点xy 42 )2,1(MMFME ,21,kk 121 kk EF P2、已知抛物线方程为 ，过点 作抛物线的两条弦 ，且 斜率为 满足 ，则直线 过定点 的 坐标为 MFME
12、 ,O M(1,2) F E 思路 1：设直线 ME(1字母 ) 代入抛物线得 E点 O M(1,2) F E 类比得 F点 得直线 EF方程 (1字母） 得定点 解析 ：法 1： ),(),(),1(2:2211 yxFyxExkyl 设0244)1(2 22 kyykxyxky由方程有一根为 2，由韦达定理得另一根为 kky 24 2)2(kkx )24,)2(11211kkkkE )24,)2(22222kkkkF 代入整理）将 1(11)2()2(242421212112221122 kkkkkkkkkkkkk EF）2111111 )2(11124:kkxkkkkyEF）211121111 )2(124:kkxkkkkkyEF )1(44124:1211121121111kkkkkxkkkkkyEF44)1)(24()1(: 1212112111211 kkxkkkkykkkEF去分母变整式0)2()5()2(: 12131 ykxykykEF230502yxxyy令 )2,3( P所以定点思路 2：设直线 EF(2字母 ),点 M,N(4字母 ) 代入抛物线得关键方程 O M(1,2) F E k1k2=1统一字母 代直线 EF方程 (1字母） 得定点 法 2： ),(),(,(:2211 yxFyxEEFamyxEF 不水平）显然设
